История появления многочлена

Рассматривая разложение многочленов на множители, возникает вопрос: «А как это было у древних?» Ни у древних египтян, ни у древних вавилонян в алгебре не было букв. У древних греков величины обозначались не буквами или числами, а отрезками прямых. Они говорили не «а2», а «квадрат на отрезке», не «аb», а «прямоугольник, содержащийся между отрезками». Если обратиться к первому дошедшему до нас теоретическому трактату по математике - знаменитым «Началам» древнегреческого математика Евклида, жившего в Александрии в III веке до н.э., - то, поправив стиль и манеру изложения великого ученого, получится следующее:

Если имеются два отрезка и один из них разбит на сколько угодно отрезков, то площадь прямоугольника, сторонами которого служат эти отрезки, равна сумме площадей прямоугольников, имеющих одной стороной неразделенный отрезок, а другими - отрезки, из которых составлен второй данный отрезок.

Далее Евклид приводит чертеж и чисто геометрическими рассуждениями доказывает теорему. Мы не будем рассматривать эти рассуждения, но заметим, что по существу в теореме идет речь о том, что если длина отрезка АВ равна а, а длина отрезка АС равна b + с +... + k, то а ∙ (b + с + ... + k) = (ab + ас + ... + аk), т.е. получился один из важнейших законов, лежащих в основе тождественных преобразований, - распределительный закон!

Многочлен – алгебраическое выражение, представляющее сумму или разность нескольких одночленов. Например, Зх2 у - 5xy2 + х - у - многочлен, а (х + у)4 многочленом не является. Слагаемые, входящие в многочлен, называют его членами. Если многочлен содержит два слагаемых, то его называют двучленом (12а3 - 64), три слагаемых – трехчленом (12а3 - 64а2 + 7а) и т.д., одночлен - многочлен, состоящий из одного члена (3a2, 5bd). Среди членов многочлена могут быть подобные, т.е. отличающиеся друг от друга лишь коэффициентами. Сумму таких членов можно заменить одним слагаемым. Эту операцию называют приведением подобных членов. Многочлен имеет стандартный вид, если:

• все его члены имеют стандартный вид;
• среди его членов нет подобных.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, надо сначала привести к стандартному виду все его члены, а потом привести подобные члены.

Наибольшую из степеней входящих в данный многочлен слагаемых называют степенью этого многочлена. Например, степень многочлена За4b2 -6а3b + 7аb4 равна 6 - такую степень имеет слагаемое За4в2, а степени остальных слагаемых меньше, чем 6. Если степени всех членов многочлена одинаковы, то этот многочлен называют однородным. Например, x4 + 2х3у - 6х2у2 + Зу4 - однородный многочлен степени 4.

Многочлен Рп(х) относительно одной переменной х вида Рn(х) = аохn + a1xn-1 + а2хn-2 + ...+ an-1х + аn, где ао, a1 , ..., аn - действительные числа и а0 ≠ 0, называется многочленом, расположенным по убывающим степеням х, или многочленом, представленном в каноническом виде. Числа ао, a1, …, аn называются его коэффициентами, одночлен аохn - его старшим членом, а число n - степень многочлена.

Многочлен первой степени называют линейным многочленом, многочлен второй степени - квадратным, а многочлен третьей степени - кубическим многочленом.

Если у многочлена, представленного в каноническом виде, отсутствует некоторая степень х, то коэффициент соответствующего многочлена равен нулю. Например, многочлен 2х3 + Зх - 5 есть многочлен третьей степени, записанный в каноническом виде, у которого коэффициент при х равен нулю.

Два многочлена, представленных в каноническом виде, тождественно равны, если равны их степени и равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Например, многочлен x3 + 2х2 + 1 тождественно равен многочлену ах3 + bх2 + 1, если а = 1, b = 2.