Сфера и ее элементы

Широко распространены на вступительных экзаменах задачи по стереометрии, в которых рассматриваются различные комбинации тел. При решении таких задач необходимо хорошо представить себе реальное взаимное расположение тел в пространстве, четко выполнять чертеж, аккуратно доказывать все утверждения. Наибольшие трудности с черте - жом возникают в тех случаях, когда одно из тел - шар. Тему реферата мы выбрали с целью, как можно более подробно разобрать разнообразные задачи со сферой (шаром), найти более точные и простые способы решения. Задачи такого типа развивают пространственное воображение и творческое мышление. Мы постарались свою работу выполнить таким образом, чтобы её могли пользоваться наши одноклассники при подготовке к урокам геометрии и государственному экзамену. Задания можно использовать на факультативах, при индивидуальной подготовке.

Сфера и ее элементы

Сферой называется множество точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от заданной точки. Эта точка называется центром сферы.

Отрезок, соединяющий точку сферы и ее центр, а также длина этого отрезка называются радиусом данной сферы.R - радиус.

Точки, расстояние от которых до центра сферы меньше ее радиуса, называются внутренними точками данной сферы.

Точки, расстояние от которых до центра сферы больше ее радиуса, называются внешними точками данной сферы.

Шаром называется фигура, состоящая из сферы и множества всех ее внутренних точек. Сфера называется границей или поверхностью шара, а центр сферы - центром шара.

Отрезок, соединяющий две точки сферы, называется хордой сферы (шара).

Любая хорда, проходящая через центр сферы, называется диаметром сферы (шара).

Сфера и плоскости

Плоскость, имеющая со сферой более одной общей точки, называется секущей плоскостью.

Плоскость, имеющая со сферой ровно одну общую точку, называется касательной плоскостью.

Сечение шара плоскостью, проходящей через его центр, называется большим кругом.

Сечение сферы плоскостью, проходящей через ее центр, называется окружностью большого круга.

Теорема: (О секущей плоскости). Пересечением сферы (шара) и секущей плоскости является окружность (круг), квадрат радиуса которой равен разности квадратов радиуса сферы и расстояния от центра сферы до секущей плоскости.

Взаимное расположение двух сфер

Определение: (Линия центров).Прямая, проходящая через центры двух сфер, называется линией центров этих сфер. Две сферы касаются, если они имеют ровно одну общую точку.

Касающиеся сферы. Сферы, имеющие общий центр, называется концентрическими.

Концентрические сферы. Две сферы, имеющие более одной общей точки, называется пересекающимися.

Пересекающиеся сферы. Две сферы расположены одна вне другой (вне друг друга), если все точки каждой из сфер являются внешними точками другой.

Сферы расположены одна вне другой. Одна сфера лежит внутри другой, если все точки первой сферы являются внутренними точками второй.

Сферы расположены одна внутри другой. Сферы касаются внешне (внешним образом), если они касаются, и все точки каждой из них кроме точки касания являются внешними точками другой.

феры касаются внешне Сферы касаются внутренне (внутренним образом), если они касаются, и все точки одной из них, кроме точки касания, являются внутренними точками другой.

Сферы касаются внутренне.

Теорема: (О пересечении двух сфер). Если две сферы пересекаются, то их пересечением является окружность. Центр этой окружность лежит на линии центров сфер, а сама окружность лежит в плоскости, перпендикулярной линии центров сфер.

Теорема: (О точке касания двух сфер). Точка касания двух сфер лежит на их линии центров, а плоскость, проходящая через эту точку перпендикулярно линии центров, является общей касательной плоскостью двух сфер.

О взаимном расположении двух сфер: расстояние между центрами...

Теорема: (... больше суммы радиусов). Если расстояние между центрами двух сфер больше суммы их радиусов, то сферы расположены вне друг друга.

Теорема: (...равно сумме радиусов). Если расстояние между центрами двух сфер равно сумме их радиусов, то сферы касаются внешним образом.

Теорема: (... меньше суммы радиусов, но больше их разности). Если расстояние между центрами двух сфер меньше суммы их радиусов, но больше их разности, то сферы пересекаются.

Теорема: (равно разности радиусов). Если расстояние между центрами двух сфер равно разности их радиусов, то сферы касаются внутренним образом.

Теорема: (меньше разности радиусов). Если расстояние между центрами двух сфер меньше разности их радиусов, то одна сфера лежит внутри другой.