Решение уравнений 4-ой степени

Aлгебраическое решение уравнения носит название решения уравнения в радикалах, ибо общая формула, выражающая корни уравнения данной степени n>1 (если только эта формула может быть построена) кроме рациональных операций, непременно должна содержать извлечение корня.

Методами решения квадратных уравнений владели ещё древние греки. В общем виде в радикалах могут быть решены уравнения степени не выше 4ой.

Открытие общих методов решения уравнений 3й и 4й степени относится к XVI веку. После этого почти три столетия продолжались безуспешные поиски найти формулы, выражающие при помощи радикалов, корни любого уравнения степени выше 4ой через его коэффициенты. Эти попытки прекратились лишь после того, как норвежский математик Абель в двадцатых годах позапрошлого века доказал, что такие формулы для уравнений nой степени при n > 5 заведомо не могут быть найдены

Решение уравнений четвертой степени вида: х4+ах3+bх2 +сх+d=0 сводится к решению некоторого вспомогательного кубического уравнения. Но эти общие формулы достаточно громоздки, кроме того препятствием при пользовании этими формулами являются так называемые «неприводимые случаи».

Например, если известно, что кубическое уравнение имеет три различных действительных корня, то эти корни в общем случае не выражаются посредством действительных радикалов.

Бывает возможным решение некоторых уравнений высших степеней методом разложения левой части уравнения на множители. В практике разложения многочленов отдельные приемы применяются в различных их комбинациях, и умение целесообразно ими пользоваться приобретается лишь в результате длительного опыта

Простейшие методы разложения основываются на непосредственном применении законов арифметических действий.

Приведем способ решения уравнения четвертой степени. Он принадлежит знаменитому академику Леонарду Эйлеру он замечателен в том отношении, что непосредственно выражает корни уравнения четвертой степени через корни кубической резольвенты

Пусть х4 + ах3 + bх2 + сх + d = 0 (1)

Тогда полное уравнение четвертой степени (1) превратится в четырехчленное уравнение

У4 + ру2 +qy+r = 0 (2).

Наряду с уравнением (2) рассмотрим кубическое уравнение относительно Z

z3 - 2yz2 + mz + n = 0 (3) где у — любое из корней уравнения (2), а коэффициенты m и n пока произвольные. Если корни уравнения (3) обозначить через U, V, W, то по формулам Виета будем иметь

2у = u + v + w, m = uv + uw + vw, n = -uvw.

Возводим обе части равенства 2у= U +V +W (4) в квадрат:

4у2 = u2 + v2 + w2 + 2(uv + uw + vw). (5)

обе части равенства (5) снова возводим в квадрат:

16y4 = (u2 + v2 + w2)2 + 4(uv+ uw + vw)(u2 + v2 + w2 ) + 4(u2v2 + u2w2 +v2w2)+8uvw(u +v + w)

Подставляя в уравнение (2) вместо y,y2,y4 их выражения из равенств (6), (5), (4), получаем после некоторых упрощений:

Подберем теперь коэффициенты m и n уравнения (З) так, чтобы уравнение (7) максимально упростилось. А именно, положим:

u2 + v2 + w2 + 2р = 0, uvw + q = 0

Тогда уравнение (7) превратится в

u2v2 + u2w2 +v2w2 =p2-4r

Отсюда следует, что u,v, w удовлетворяют следующей системе уравнений:

Из равенства (8) следует на основании формулы Виета, что u2,v2,w2 является корнями следующего кубического уравнения

z3+2pz2 + (р2 - 4r)z – q2 = 0, (9) которое переходит в уравнение кубической резольвенты для уравнения (2), если заменить z через 2z| - р .

Таким образом, решая уравнение (9) мы получим три его корня

Значение радикалов следует выбирать с таким расчетом, чтобы выполнялось равенство

Очевидно, что значение двух радикалов могут бьть выбраны произвольно, а значение третьего радикала придется уже брать из равенства (1).

Выбрав таким образом значения радикалов мы получим все четыре корня уравнения (1) по формулам: