Что такое симметрия

Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Многие народы с древнейших времен владели представлением о симметрии в широком смысле – как об уравновешенности и гармонии. Посредством симметрии человек всегда пытался, по словам немецкого математика Германа Вейля, «постичь и создать порядок, красоту и совершенство». И не случайно симметрия в переводе с греческого означает соразмерность . Часто проводят параллели: симметрия и уравновешенность, симметрия и совершенство. На уроках геометрии мы изучали два вида симметрии: осевую и центральную.

Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если это прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой а, считается симметричной самой себе. Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной самой себе. Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

Наличие разных типов симметрий является важным признаком, по которому выделяют виды многоугольников. Три вида четырехугольников имеют только одну симметрию: параллелограмм – центрально-симметричен; дельтоид – симметричен относительно одной диагонали; равнобокая трапеция – симметрична относительно линии, соединяющей середины оснований.

Есть четырехугольники, имеющие две оси симметрии. Последние обязательно перпендикулярны, а точки их пересечения являются центром симметрии четырехугольника. Это ромб и прямоугольник. В первом оси симметрии - диагонали, во втором – средние линии.

«Самый симметричный» четырехугольник – квадрат – имеет четыре оси симметрии , центр симметрии, а кроме того, совмещается с самим собой при поворотах на углы, кратные 900, вокруг общей точки его четырех осей симметрии.

Имеется несколько разных, но равносильных условий, необходимых и достаточных того, чтобы четырехугольник принадлежал к данному виду. Если классифицировать четырехугольники по признаку симметрии, то неравнобокая трапеция не выделяется в отдельный ее вид. Ее, как и произвольный четырехугольник, можно совместить саму с собой единственным способом. Не случайно словом «трапеция» в прошлом обозначали любой четырехугольник, отличный от параллелограмма.

Интересно, что имеется 2n способов совместить правильный n-угольник сам с собой: половина из них повороты вокруг одной и той же точки, его центра, на углы, кратные 3600/n, вторая половина - n симметрий относительно прямых, соединяющих центр с вершинами и серединами сторон. Например, для правильного шестиугольника имеется 12 способов совместиться сам с собой, из них - 6 осевых симметрий.

Симметрию имеют и буквы алфавита, в том числе и русского. Например, А, С, Д, Е, П, К, Ш, Ф, Э, М, Т, Ю - одну ось симметрии, Н, О, Ж, Х – две оси симметрии и центр симметрии. Я поместила буквы перед зеркалом, расположив его параллельно строке, и заметила, что те из них, у которых ось симметрии проходит горизонтально, можно прочесть и в зеркале. А вот те, у которых ось расположена вертикально или отсутствует вовсе, становятся “нечитаемыми”. Так если слова «КОФЕ» и «ЧАЙ» поместить перед зеркалом, то получим следующий результат. Зеркало не подействовало на слово " КОФЕ " , тогда как слово " ЧАЙ " оно изменило до неузнаваемости. В отличии от слова " ЧАЙ " слово " КОФЕ " обладает горизонтальной осью симметрии, именно поэтому оно не искажается при отражении в зеркале. Нередко дети пишут некоторые буквы “навыворот”. Латинское N выглядит у них как И, а S и Z получаются наоборот. Я считаю, что это связано с тем, что у данных букв нет оси симметрии, но они имеют центр симметрии. Существуют языки, в которых начертание знаков опирается на наличие симметрии. Так, в китайской письменности иероглиф означает именно истинную середину.

Зеркальная симметрия. Геометрическая фигура называется симметричной относительно плоскости S если для каждой точки E этой фигуры может быть найдена точка E’ этой же фигуры, так что отрезок EE’ перпендикулярен плоскости S и делится этой плоскостью пополам . Плоскость S называется плоскостью симметрии. Если одна половина объекта является зеркальным двойником по отношению к другой его половине, то такой объект называют зеркально симметричным. Он преобразуется сам в себя при отражении в соответствующей зеркальной плоскости; эту плоскостью называют плоскостью симметрии. Форма всех объектов, которые двигаются по земной поверхности или возле нее — шагают, плывут, летят, катятся, — обладает, как правило, одной более или менее хорошо выраженной плоскостью симметрии. Все то, что развивается или движется лишь в вертикальном направлении, характеризуется симметрией конуса, то есть имеет множество плоскостей симметрии, пересекающихся вдоль вертикальной оси. И то и другое объясняется действием силы земного тяготения.

Увидеть зеркальный двойник объекта совсем нетрудно. Достаточно поместить освещённый объект перед плоским зеркалом и заглянуть в это зеркало. Обычно считают, что наблюдаемый в зеркале двойник является точной копией самого объекта. В действительности же это не совсем так. Зеркало не просто копирует объект, а меняет местами передние и задние по отношению к зеркалу части объекта. Ведь объект и его двойник различаются только своей ориентации: они развёрнуты навстречу друг другу. В одних случаях это различие не слишком бросается в глаза; например, можно не обратить внимание на то, что у вас родинка находится на правой щеке, а у вашего зеркального двойника на левой. В других случаях различие становится настолько вопиющим, что приходится только удивляться, как на него не обращали внимание раньше. Достаточно сравнить какой-нибудь текст с его зеркальным двойником. В случае плоского объекта вместо плоскости симметрии рассматривается ось симметрии – линия пересечения плоскости симметрии с плоскостью объекта. Энантиоморфы – это пара зеркально асимметричных объектов , являющихся зеркальным изображением один другого. Энантиоморфами могут быть отдельные объекты, но могут быть и половинки соответствующим образом разрезанного объекта. Чтобы различить энантиоморфы в данной паре, вводят обозначения «левый» и «правый». Не имеет принципиального значения, какой именно назван левым ; это вопрос договоренности, традиции, привычки. На рисунках приведены примеры трехмерных энантиоморфов.

Зеркальную симметрию можно увидеть на берегах водоемов. Поверхность воды есть плоскость симметрии.

Винтовая симметрия. Рассматривая расположение листьев на ветке дерева, видим, что один лист не только отстоит от другого, но и повёрнут вокруг оси ствола. Листья располагаются на стволе по винтовой линии . Винтовая симметрия есть симметрия относительно комбинации двух преобразований - поворота и переноса вдоль оси поворота, т.е. идёт перемещение вдоль оси винта и вокруг оси винта. Встречаются левые и правые винты. Примерами природных винтов являются: бивень нарвала – левый винт; раковина улитки – правый винт; рога памирского барана – энантиоморфы . Спиральная симметрия не бывает идеальной, например, раковина у моллюсков сужается или расширяется на конце. Хотя внешняя спиральная симметрия у многоклеточных животных встречается редко, зато спиральную структуру имеют многие важные молекулы, из которых построены живые организмы – белки, дезоксирибонуклеиновые кислоты - ДНК. Подлинным царством природных винтов является мир «живых молекул» - играющих принципиально важную роль в жизненных процессах. К таким молекулам относятся, прежде всего, молекулы белков. В 20 веке усилиями российских учёных - В Беклемишева, В Вернадского, В Алпатова, Г.Гаузе - было создано новое направление в учении о симметрии - биосимметрика. Исследовав симметрии биоструктур на молекулярном и надмолекулярном уровнях позволяет заранее определить возможные варианты симметрии в биообъектах, строго описывать внешнюю форму и внутреннее строение любых организмов.

Симметрия является жизненно важным признаком, который отражает особенности строения, образа жизни и поведения животного. Симметричность формы необходима рыбе, чтобы плыть; птице, чтобы летать. Так что симметрия в природе существует неспроста: она еще и полезна, или, иначе говоря, целесообразна. В биологии центр симметрии имеют: цветы, медуза, морские звезды и т. д. Наличие форм симметрии прослеживается уже у простейших – одноклеточных . Тело человека построено по принципу двусторонней симметрии. Мозг разделён на две половины. В полном соответствии с общей симметрией тела человека каждое полушарие представляет собой почти точное зеркальное отображение другого. Управление основными движениями тела человека и его сенсорными функциями равномерно распределено между двумя полушариями мозга. Левое полушарие контролирует правую сторону мозга, а правое - левую сторону. Проведенные исследования показали, что симметричное лицо более привлекательно. Также исследователи утверждают, что лицо с идеальными пропорциями является признаком того, что организм его обладателя хорошо подготовлен для борьбы с инфекциями. Обычная простуда, астма и грипп с высокой вероятностью отступают перед людьми, у которых левая сторона в точности похожа на правую. И в одежде человек тоже, как правило, старается поддерживать впечатление симметричности: правый рукав соответствует левому, правая штанина — левой. Пуговицы на куртке и на рубашке сидят ровно посередине, а если и отступают от нее, то на симметричные расстояния. И вместе с тем порой человек старается подчеркнуть, усилить различие между левым и правым. В средние века мужчины одно время щеголяли в панталонах со штанинами разных цветов . Но подобная мода всегда недолговечна. Лишь тактичные, скромные отклонения от симметрии остаются на долгие времена.

В искусстве симметрия получила распространение как один из видов гармоничной композиции. Она свойственна произведениям архитектуры и декоративно-прикладного искусства. Строго симметрично строятся геометрические орнаменты; в классической архитектуре господствуют прямые линии, углы, круги, равенство колонн, окон, арок, сводов. Симметрия используется также в качестве основного приёма построения бордюров и орнаментов.

Симметрия - жизненно важная составная часть любого аспекта музыки - от композиции монументальных симфоний до тонкой структуры мелодических фраз. В музыке, ряд музыкальных форм строится симметрично. В этом отношении особенно характерно рондо, в котором музыкальная тема многократно повторяется, чередуясь с эпизодами различного содержания. Это напоминает зеркальную симметрию, где основная тема служит плоскостью, от которой отражаются эпизоды. Искусство танца также не лишено симметрии. Танец любого ансамбля строится на построении симметричных танцевальных фигур. Балерина заканчивает свой номер искромётным фуэте, когда она вращается на одной ножке 12, 24, 32! раза. Именно повторяемость этих движений определяет их эстетический эффект. Принцип симметрии прослеживается во множестве ранних балетов, где танцоры в одинаковом количестве выстраивались в линии и формировали на сцене однородную структуру. Также симметрией называется ситуация, при которой все танцоры одновременно исполняют одно и то же движение. Симметрия присуща немалому числу балетных позиций . На принципе симметрии основывается множество танцев. В стихотворениях подразумевается симметрия чередования рифм, ударных слогов, то есть опять таки ритмичность. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гете утверждал, что «всякая композиция основана на скрытой симметрии». В русском языке есть «симметричные» слова – палиндромы, которые можно читать одинаково в двух направлениях: шалаш, казак, радар, Алла, поп. Могут быть палиндромическими и предложения: А роза упала на лапу Азора.

Так же симметрию можно найти в таких отрослях как: астрономия, физика, химия. Принципы симметрии лежат в основе теории относительности, квантовой механики, физики твердого тела, атомной и ядерной физики, физики элементарных частиц. Пользуясь симметрией природы, физики делали порой весьма смелые предположения и они всегда оправдывались. Например, известный ученый Поль Дирак решил, что электрон должен иметь «антипода». В самом деле, мир электрически нейтрален. Положительных зарядов в нем столько же, сколько и отрицательных. Но отрицательный электрон — крохотулька, а положительный протон невероятно массивен. Это несправедливо, не симметрично, решил Дирак и высказал предположение, что должен существовать точно такой же по массе, как и электрон, но с зарядом противоположного знака «позитрон». И точно. Прошло четыре года, и экспериментаторы поймали такую частицу. Симметрия в химии проявляется в геометрической конфигурации молекул, что сказывается на их физических и химических характеристиках, имеет значение при теоретическом анализе строения соединений, их свойств и поведения в различных реакциях. Можно обнаружить широкое распространение проявлений симметрии в строении геологических тел самых различных размеров и происхождения, входящих в состав земной коры. Симметрия геологических образований подчиняется, в общем, тем же законам симметрии, которые хорошо известны в геометрии и кристаллографии.