Задачи на движение в математике

Содержание экзаменационной работы за курс математики основной школы отражает, в известной мере, содержание среднего математического образования выпускников, поэтому анализ экзаменационных заданий позволяет выделить наиболее перспективный математический материал с точки зрения реализации всех функций обучения (дидактической, развивающей и воспитательной).

Анализ первой (обязательной) части работы выявил следующие особенности содержания: 1) задания направлены на проверку базовой подготовки выпускников в ее современном понимании; 2) по сравнению с традиционным экзаменом усилены понятийный и практический аспекты; 3) проверке подвергается не только усвоение основных алгоритмов и правил, но и понимание смысла важнейших понятий и их свойств, содержания применяемых приемов, умение применять знания в простейших практических ситуациях; 4) при выполнении заданий первой части учащиеся должны продемонстрировать определенную системность знаний, умение пользоваться разными математическими языками и переходить с одного из них на другой, распознавать стандартные задачи в разнообразных формулировках; 5) эта часть работы содержит 16 заданий с выбором ответа, с кратким ответом и на соотнесение, из 16 заданий – 4 сюжетных задачи: одна из задач – на умение работать с величинами, второй вид задач – на изменение и сравнение величин количественно и в процентах, задачи третьего вида на адекватность алгебраической модели содержанию задачи, в задачах четвертого вида условие задачи представлено графиком зависимости пути от времени, а требование сформулировано в виде вопроса.

Сюжетные задачи – это наиболее древний вид задач. Во всех сохранившихся письменных памятниках древности встречаются разные сюжетные задачи, в том числе и задачи на движение.

Например, во II веке в Китае решали следующую задачу: Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетели одновременно. Через сколько дней они встретятся?

Задача из учебника Л.Ф. Магницкого: Послан человек из Москвы на Вологду, и велено ему в хождении своем совершати на всякий день 40 верст; потом другой человек в другий (следующий) день послан в след его и велено ему идти на день 45 верст, и ведательно есть, в коликий день постигнет (догонит) второй первого.

Приведем также пример старинной русской задачи.

Из Москвы в Тверь вышли одновременно два поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 верст. Сколько верст от Москвы до Твери?

Как видно, две последние задачи относятся к типу задач на движение. Это лишний раз подтверждает тот факт, что подобным задачам придавали особое значение во все времена.

Задачи на движение имеют важное практическое значение: это единственный вид учебных задач, в процессе решения которых учащимся необходимо использовать сразу несколько различных информационных и математических моделей: графические (чертеж, схема, граф), реляционные (таблица) и алгебраические (алгебраические выражения, уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств). Графическая модель позволяет лучше понять взаимосвязи и отношения, описанные в условии задачи, табличная модель – определить наиболее удобный способ решения, математическая модель строится с целью получения ответа на поставленный вопрос. Таким образом, задачи на движение могут с успехом использоваться, в том числе, и при обучении моделированию.

Одной из особенностей задач на движение является то, что всякая такая задача требует обязательного анализа. Без предварительного анализа трудно определить, какой метод, и какая соответствующая математическая модель являются наиболее подходящими для решения данной задачи. Процессы реальной жизни характеризуются величинами, между которыми существуют определенные зависимости. Поэтому целесообразно научить детей начинать решение всякой задачи с установления процессов, описываемых в задаче, затем выявлять величины, характеризующие каждый процесс, уяснять функциональную зависимость между величинами.

Надежность результатов деятельности ученика при решении задачи обуславливается его умением выбирать нужные операции, приводящие к получению желаемого результата. Выбор операций определяется структурой задачи, а также сформированностью приемов умственной учебной деятельности учащихся. Из этого вытекает необходимость расчленения задачи на составные элементы, отбор и соединение этих элементов в ином плане, обеспечивающем активную работу учащихся. Из этого также вытекает необходимость расчленения хода решения задачи на отдельные логико-психологические этапы, каждый из которых представляет собой определенную законченную часть решения задачи, дающую возможность осуществить операции следующего этапа.

В логико-психологическом плане такие этапы, содержащие определенные рекомендации, представляют собой программу деятельности учащихся, вызывающую соответствующие операции на уровне познавательных процессов – восприятия и мышления.

Без конкретной программы деятельности для учащихся, без алгоритмов или общих указаний по поиску решения задач трудно организовать процесс учения школьников, так как этот процесс имеет своими составными частями подражание и последующее творчество.

Традиционно решение задач на движение проходит семь основных этапов. I этап – составление информационной модели задачи. Соотнесение задачи к одному из классов: определённых, недоопределённых, переопределённых (с противоречивыми или непротиворечивыми данными условия) задач. II этап – выявление основания для составления математической модели: числового выражения (или его отдельных арифметических элементов), уравнения, неравенства или системы уравнений и неравенств. III этап – составление математической модели. IV этап – решение уравнения (неравенства, системы), нахождение значения числового выражения. V этап – интерпретация результатов: исследование корней уравнения (системы) с целью установления решений задачи, смысловой анализ решения задачи. Проверка расчетов и обоснований. VI этап – запись ответа. VII этап – анализ решения задачи: комментирование решения задачи, возвращение к решению задачи (ретроспективный подход) с целью уяснения и уточнения идей и методов решения задачи, упрощение расчетов, рассмотрение всех вариантов данной ситуации, выяснение возможности обобщения, установление общих правил для решения подобных задач, поиск более рациональных приемов решения задачи.

В процессе решения задач на движение нужно придерживаться описанной выше схемы, однако, разбивать процесс решения на отдельные этапы и озаглавливать нет необходимости. Тем более нет необходимости оформлять решение, придерживаясь некоторого алгоритма: все зависит от характера и особенностей задачи, от того, с какой целью решается задача и на каком этапе обучения. Решение должно быть организовано так, чтобы принесло наибольшую пользу для осуществления тех целей, ради которых задача включена в процесс обучения математике.

Как было указано выше, успешное решение задач на движение зачастую зависит от правильного использования различных моделей. Наблюдение, анализ письменных работ и устных ответов учащихся позволяют утверждать, что основная причина всех допускаемых школьниками ошибок кроется в неправильной организации 1) первичного восприятия задачи, 2) анализа: должным образом не выяснена сложившаяся ситуация, отраженная в задаче, 3) работы по моделированию: первичному (информационному) и основному (математическому).

Обратимся к проблеме первичного восприятия задачи. Чтобы каждый ученик в соответствии с данными условия смог выполнить требование задачи, ему необходимо уяснить, о чем говориться в задаче: сколько ситуаций описано, сколько объектов участвует в движении, по какой траектории происходит движение и в каком направлении. Монологические формы выяснения этих вопросов, как правило, не приносят нужных результатов: не все учащиеся способны следить за логикой рассуждений педагога. Диалоговые формы работы позволяют подавляющему большинству учащихся уяснить суть решаемых проблем, но из-за несовершенства оперативной памяти многие ученики не в состоянии удерживать всю анализируемую информацию, и тем более осуществлять дальнейший анализ данных условия на предмет выявления функциональных взаимосвязей. Диалоговым способам организации процесса решения задачи должна сопутствовать визуализация выделяемой из текста задачи информации.

Уже в начальной школе, согласно требованиям программы, каждый ученик должен уметь не только кратко записать (сократить текст до возможного минимума) условие задачи, но и проиллюстрировать (визуализовать выделяемую из текста задачи информацию) условие с помощью рисунка, схемы или чертежа. В краткой записи используются и развиваются умения учащихся представлять информацию в вербальной форме. А схематическая запись нацелена на умение работать с образной информацией.

В V-VI классах, как правило, используются лишь разные виды краткой записи задачи да изредка готовые схемы (помещённые в учебнике), а создание информационной (графической) модели задачи и учителем и учащимися применяется крайне редко. Это аргументируется тем, что наглядность обязательна только на начальном этапе обучения, а с развитием у детей абстрактного мышления она свое значение теряет. А между тем наглядность нужна на всем протяжении обучения как важное средство развития более сложных форм пространственного мышления и формирования математических понятий. Как отмечает Л.Ш.Левенберг, «рисунки, схемы и чертежи не только помогают учащимся в сознательном выяснении скрытых зависимостей между величинами, но и побуждают активно мыслить, искать наиболее рациональные пути решения задач, помогают не только усваивать знания, но и овладевать умениями применять их».

Наряду с графическим представлением информации задач на движение используются схемы. Обучение умению строить схемы проводится по принципу от простого к сложному и реализуется по мере усложнения самих задач на протяжении всего курса математики.

Одна из трудностей, поджидающих ученика, заключается в необходимости так представить условие задачи в знаково-символической форме, чтобы она оказалась предельно понятной.

При решении задач на движение схемы выполняют ориентировочную роль, поскольку дают возможность одновременно видеть все связи между данными. Лучшему и быстрому осознанию сути явления, зафиксированного в схеме, помогает уменьшение количества перекодировок, которые потребуется делать при сопоставлении схемы с реальной ситуацией. Поэтому применяемая схема должна быть разумно сокращенной и упрощенной по сравнению с реальным явлением и в то же время наиболее естественной для каждой задачи.

В некоторых методических рекомендациях по поводу использования той или иной информационной модели задачи часто между строк читается такое положение: «запись должна отражать связи на том языке, на котором задача сформулирована», то есть если в задаче сказано: «больше на», то и в краткой записи должна присутствовать эта фраза. Считая это положение разумным, причислим его в дальнейшем к перечню тех требований, которые мы будем предъявлять к таблицам, но в случае схематической записи условия данное положение будем считать излишним. Кроме того, подмена текстовой информации её арифметическим эквивалентом также недопустима: возможная при этом ошибка выявится только на этапе интерпретации результатов (или не выявится вообще) при использовании алгебраических моделей или в ходе решения задачи арифметическим способом (невозможно осуществить некоторое арифметическое действие на множестве натуральных или положительных рациональных чисел).

Графико-схематическая модель позволяет перейти к построению другой информационной (реляционной) модели – таблице. Целесообразно строить две реляционные модели, в первой – размещать информацию на языке задачи, во второй – ту же информацию представлять на алгебраическом языке.

С таблицами учащиеся работают, начиная с начальной школы; главная цель при этом – научить учащихся размещать и считывать информацию с таблицы. Кроме того, уже в начальной школе идёт пропедевтическая работа по использованию информации, размещённой в таблице, для составления числовых выражений.

В 5-6 классах задачи, решаемые школьниками, усложняются. Наряду с арифметическим методом начинает использоваться алгебраический метод решения текстовых задач, подразумевающий адекватный выбор переменных условию и требованию задачи. Поэтому на данном этапе обучения целесообразно использовать табличную информационную модель задачи для осуществления такого выбора.

В 7 классе необходимость такой работы обуславливается возросшей степенью сложности решаемых задач, психолого-педагогическими предпосылками решения задач, расширением математического аппарата для осуществления такого решения и ещё рядом второстепенных причин. Поэтому, овладение учащимися умением строить адекватные задаче реляционные модели можно считать одной из основных целей обучения математике в 7 классе. Отметим, что этот этап обучения решению задач тесно связан с аналогичным методом представления информации, используемым в информатике. Таким образом, работа учителей математики и информатики в этом направлении должна быть хорошо организованной, с учётом требования единообразия.

Мотивация обучения табличному моделированию обусловлена психолого-педагогическую ценностью реляционных моделей: когда решающий не в состоянии изначально представить себе целиком план решения задачи, то информация, представленная в таблице позволяет ему наметить некоторые ключевые моменты плана, расчленить задачу на ряд элементарных и решить некоторые из них, осознать и сформулировать причины возникших затруднений и пр. В законченном (числовыми данными заполнены все ячейки) виде таблица дает возможность обобщения способов решения типовых задач, а также осознания некоторых эвристических приёмов деятельности.