Вычисление длины окружности

Измерение длин принято производить с помощью линейки, или приборов их заменяющих. При изучении темы «Окружность» этот подход не дает результата. Но объекты окружающего мира приводят нас к необходимости вычисления длины окружности, ибо формы круга, окружности мы встречаем повсюду: это и колесо машины и линия горизонта и диск Луны.

Необходимо найти способ вычисления длины окружности.

И так, объектом нашего исследования является длина окружности; цель исследования – рассмотреть различные способы измерения длины окружности и получение формулы.

В «Энциклопедическом словаре юного математика» мы узнали, что для вычисления длины окружности колеса в старину поступали так: отмечали на окружности точку и «прокатывали» ее вдоль линейки.

Расстояние от начальной точки - точки касания колеса с землей - до второй точки представляет собой длину окружности.

Однако древнегреческих математиков такой эмпирический, опытный подход к определению длины окружности не удовлетворял: окружность это линия, то есть по Евклиду, «длина без ширины», а таких нитей не бывает. Если же мы «катим» окружность по линейке, то возникает вопрос: почему мы при этом получаем длину окружности, а не какую-нибудь другую величину?

К тому же такой подход не позволял определить площадь круга.

Выход был найден: рассмотреть вписанные в круг правильные многоугольники.

Идея заменить длину окружности периметром описанного (или вписанного) многоугольника оказалось очень правильной, и различные математики использовали ее в течение более чем 3000 лет.

Изучая литературу, мы узнали : Что такое многоугольник, правильный многоугольник.

Многоугольник – часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной, не имеющая точек самопересечения. Вершины и звенья ломаной соответственно называются вершинами и сторонами многоугольника, сама ломаная называется границей многоугольника.

Правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

Правильный многоугольник можно разрезать на равные треугольники.

Вершины правильных многоугольников расположены на окружностях. Построим вписанные правильные многоугольники -пятиугольник, шестиугольник, восьмиугольник, двенадцатиугольник.

Рассмотрим - на каком рисунке периметр правильного многоугольника ближе всего приближается к длине окружности?

На последнем рисунке периметр ближе всего к длине окружности.

Если впишем правильный многоугольник с еще большим числом сторон, то заметим: что, чем больше число сторон, тем точнее приближается периметр к длине окружности.

С древних лет и до нашего времени известно практическое решение задачи: можно уложить вдоль окружности нить, а потом развернуть ее и приложить к линейке, что определило экспериментальную работу.

Мы провели экспериментальную работу по вычислению длины окружности этим способом.

Анализируя результаты таблицы проведенных опытов, мы пришли к выводу:

отношение длины окружности к ее диаметру является числом постоянным и примерно равно 3, с точностью до целых. Расхождения в результатах измерений возникли за счет неточности измерения линейкой, толщины нитки. Чем больше проводим количество испытаний с различными предметами, тем точнее получается результат. Поэтому мы нашли среднее арифметическое.

Hайдя среднее арифметическое полученных результатов (3,25+3,125+3,11+3,2+3+3,17+3,21+3,22+3):9=3,1427… , и обозначив С - длину окружности, D- величину соответствующего диаметра, округлив до сотых результат, получаем 3,14.

Число 3.14… назвали Пи и обозначили -π.( «π»-начальная буква греческого слова perimetron, которое и означает окружность).

Из этого отношения мы получили формулу длины окружности С=π*D, которую будем использовать для решения задач.

Для нас данная формула является открытием.

Историческая справка

Кто первым догадался, что отношение длины окружности к ее диаметру - это величина постоянная, наверное, никогда не будет известно. Но уже самые древние тексты, найденные археологами, показывают, что люди знали этот факт с незапамятных времен. Например, на глиняных табличках, найденных в Месопотамии и датированных началом 11 тысячелетия до нашей эры, можно прочесть: «Если 60 есть окружность, то третья часть от 60 представляет собой 20. Это и есть диаметр»

История числа П, выражающего отношение длины окружности к её диаметру, началась в Древнем Египте.

Египетские математики определяли Пи равным дроби 256/81, т.е. П= 3,160...

В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в VI в. до н.э.) имеется указание, из которого следует, что число Пи в то время принимали равным дроби 3,162...

Древнегреческие математики для вычисления числа π использовали правильные многоугольники.

Одно из самых знаменитых вычислений такого рода принадлежит Архимеду (111 век до нашей эры).Он использовал одновременно вписанные и описанные правильные многоугольники: понятно, что длина окружности больше периметра вписанного многоугольника и меньше периметра описанного многоугольника, поэтому Архимед смог не только найти приближенное значение числа Пи, но и указать точные границы, в которых оно находиться. Похоже, это было первое вычисление такого рода. А если вспомнить, что удобных способов записи вычислений тогда не было и Архимеду приходилось использовать очень сложные и громоздкие описания. Остается удивляться силе его ума и изобретательности. В результате вычислений Архимед нашел первые три верных знака числа Пи, которые сейчас хорошо известны всем: 3,14… При этом оказалось, что хорошее приближение дает число 3,14286, его до сих пор называют «Архимедовым числом».

С тех пор, используя эту идею, многие математики в разных странах продолжали погоню за знаками числа Пи. В 5 веке нашей эры китайский математик Цзу Чун-жи нашел значение Пи до седьмого знака после запятой, а арабский математик ал-Каши в 15 веке нашел уже 17 знаков после запятой.

С появление вычислительной техники дело пошло быстрее. Сейчас уже известны десятки миллиардов цифр числа Пи.

Работая в Интернете, мы нашли материал о значении числа Пи в количестве 10000 знаков после запятой, которые ни разу не повторяются.