Векторы в школьном курсе алгебры

На одном из уроков нам дали тригонометрическое уравнение, которое надо было дома решить различными способами. Мы разделились на группы и стали вести поиск путей выполнения данного задания. Один из нас «выкопал» решение данного уравнения, используя векторы. Сначала мы были очень удивлены, а затем очень увлеклись данным способом. По крупицам собирали, анализировали и обобщали материал по данной тематике, перелистывая журналы «Наука и жизнь», «Квант», «Математика в школе» и приложение к газете «Первое сентября» - «Математика» и различные книги.

Итогом нашей деятельности стала данная работа, которую представляем вашему вниманию. Надеемся, что и вы с большим интересом и вниманием познакомитесь с пользой для себя.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Сначала краткое теоретическое досье (справка). Как мы знаем, величины, которые характеризуются не только численным значением (скаляром), но и направлением называются векторными величинами или просто векторами.

Название вектора произошло от латинского слова vector (везущий, несущий). В физике многие величины характеризуются не только числом, но и направлением (векторные величины). К таким величинам относятся сила, скорость, ускорение и другие. Их изображают векторами.

Геометрическим образом вектора является направленный отрезок. Вектор обозначается двумя заглавными буквами или одной прописной буквой латинского алфавита со стрелкой наверху (мы для удобства над буквенным обозначением вектора будем ставить черточку).

Два ненулевых вектора, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой, называются коллинеарными.

Наша работа посвящена применению векторного метода к решению некоторых алгебраических задач (решение уравнений, систем уравнений, нахождение наименьших и наибольших значений функций), получивших широкое распространение в заданиях на приемных испытаниях по математике в различные вузы и на математических соревнованиях различного уровня. Для овладения векторным методом необходимо сначала научиться переводить данные и требования задачи с языка алгебры на язык векторов, а именно: найти координаты векторов, их скалярное произведение и длины, выполнять преобразования векторных выражений и равенств, переводить полученные результаты с языка векторов на алгебраический язык.

Из-за технических причин, мы ограничиваемся выше приведенными примерами. Нам пришлось многое сократить, изменить. Но мы постарались вам довести суть данного метода.

Примененный нами векторный метод показывает, что довольно большое число примеров на решение уравнений, систем уравнений, доказательство неравенств, особенно задач на нахождение наибольших и наименьших значений существенно упрощается по сравнению с решениями, выполненными традиционным путем, а в некоторых случаях, особенно, когда много переменных, только такой подход и приводит к успеху.

Итогом нашего увлечения стало, то, что мы намного лучше стали понимать роль векторов в математике, взаимосвязь курса алгебры и геометрии. Согласитесь, что три векторных неравенства являются тем звеном, используя которые мы показали эффективность применения векторов в отдельных разделах курса алгебры. Кроме того, векторы позволяют «сжать» информацию, сделать ее наглядной и оперативной, и тем самым способствуют поиску путей решения математических заданий, что очень важно. И заметим, что приведенные выше решения задач не обладают для многих из нас признаком привычности, хотя они соответствуют школьной программе.

Необходимо отметить и то, что порой аналогичные задания являются частью более сложных задач. Например, при решении уравнений методом оценки: в которых максимум левой части совпадает с минимумом правой части; причем решение обычным путем не предоставляется возможным.

Надеемся, что метод решения заданий, обобщенный нами, может оказать вам активную помощь при подготовке к итоговым и приемным испытаниям. Также будет способствовать развитию и обогащению вашей математической культуры, а значит общечеловеческой культуры.