Способы измерения геометрических фигур

На уроках геометрии нас заинтересовал раздел истории математики, в котором прослеживается развитие с древних времен до наших дней методов вычисления геометрических величин и получения некоторых формул, и показаны инструменты для измерения расстояний, углов, поверхностей. Мы занялись подробным изучением темы «Измерение фигур в пространстве» и практическим применением этих знаний в жизни. Для нахождения материала для нашей работы исследовали энциклопедические справочники по математике, учебники по геодезии, географии. Кроме того, посетили геологоразведочный техникум, где получили некоторые консультации. Поиск формул нахождения объемов и площадей тел вращения, многогранников, вывод этих формул заняли особое место в нашей работе.

При изучении темы «Угол между прямыми и плоскостями» мы отметили, что проблема измерения углов восходит к глубокой древности. Необходимость точно определить положение на небе Солнца и звезд стимулировала создание специальных приборов для определения углов, под которыми видны эти светила.

Существует много других, но менее точных способов измерения углов, с которыми мы познакомились. Интересной темой нахождения формы и размеров Земли, получение формул объёма и площади поверхности Земли. Эта тема занимает в нашей работе особое место.

Познакомившись с формулой Симпсона, провели лабораторную работу «Вычисление объема бревна и нахождение берез на местности, из которых можно взять сок». Тем самым мы проверили, насколько наш материал применим в обучающих целях.

Инструменты для измерения углов

К измерению геометрических величин относят: измерение углов, расстояний, длин кривых, площадей поверхностей, объёмов фигур в пространстве. Изучение этих тем пронизывает весь курс стереометрии от начала до конца и служит не только освоению теорем, но и выработке практических умений и навыков.

При изучении темы «Угол между прямыми и плоскостями» мы отметили, что проблема измерения углов восходит к глубокой древности. Необходимость точно определить положение на небе Солнца и звезд стимулировала создание специальных приборов для определения углов, под которыми видны эти светила. Одним из первых таких измерительных инструментов была астролябия, изобретенная Гиппархом (180-125 гг. до н.э.) и усовершенствованная впоследствии Региомонтаном (1436-1476).

Для определения высоты звезды наблюдатель прикладывал глаз к нижнему диоптру и поворачивал алидаду так, чтобы звезда была видна через другой диоптр.

После установки алидаду наводили сначала на один объект и засекали угол, а затем – на другой объект и также засекали угол. Разность между этими углами и давала искомый угол, под которым видны данные объекты.

Другим инструментом для измерения углов был квадрант , представляющий собой ¼ часть астролябии и значительно увеличивающий точность измерения углов.

На старинной гравюре художник изобразил моряка эпохи великих географических открытий, прокладывающего курс корабля с помощью астролябии и других измерительных инструментов.

Наиболее совершенным угловым инструментом, применяющимся в наше время для выполнения геодезических работ, является теодолит , состоящий из двух лимбов, расположенных в вертикальной и горизонтальной плоскостях, что позволяет измерять вертикальные и горизонтальные углы одновременно. Точность измерения углов при этом составляет доли минуты.

Измерения углов на практике

Существует много других, менее точных способов измерения углов. Рассмотрим один из таких способов.

Ширина ногтя указательного пальца приближенно равна 1 см, а расстояние от глаза до ногтя вытянутой руки – 60 см. Поэтому угол, под которым виден ноготь, приближенно равен 1о.

Задания, которые можно предложить выполнить учащимся:

• измерьте длину своего ногтя указательного пальца и расстояние от глаза до ногтя вытянутой руки;
• рассчитайте угол, под которым виден ноготь;
• среди окружающих предметов найдите те, которые видны под углом 1 градус;
• измерьте ширину двух, трёх и четырёх пальцев руки и рассчитайте углы, под которыми они видны на вытянутой руке;
• измерьте углы, под которыми видны окружающие предметы;
• придумайте другие способы приближенного измерения углов.

Нахождение расстояний до недоступных предметов

В качестве приложения измерения углов рассмотрим вопрос о нахождении расстояний до недоступных предметов. Пусть требуется измерить расстояние от пункта А на берегу до корабля К, находящегося в море в пределах видимости . На берегу выбирается ещё один пункт В. Измеряются расстояние АВ и углы А и В в треугольнике АВК. После этого находят расстояние АК.

В качестве упражнений по измерению расстояний учащимся можно предложить следующие задания:

• измерить угол, под которым виден телеграфный столб, и зная его высоту ( 8 м), найдите расстояние до столба;
• измерить расстояние до какого-нибудь здания и угол, под которым оно видно, определите высоту здания;
• найти расстояние до других предметов, например, до дерева, человека, самолета и т.д.

Как возникли представления людей о шарообразности Земли? Что означает шарообразность?

Первые мысли о шарообразности Земли возникли VI – V вв. до н.э. Они появились в результате астрономических наблюдений . Было замечено, в частности, что при лунных затмениях тень на луне имеет форму круга. Это объяснили тем, что, встав между Солнцем и Луной, Земля отбрасывает свою тень на Луну, следовательно, Земля круглая или шарообразная. Мысли о шарообразности Земли подтверждали наблюдения за появлением из-за горизонта кораблей: сначала показывалась верхняя часть мачты, а затем, постепенно, по мере приближения корабля, появлялись и остальные его части. Такой эффект объясняли тем, что корабль двигается по дуге шаровой поверхности Земли и его более высокие части раньше выступают из-за наивысшей точки дуги, расположенной между кораблем и наблюдателем.

Заметим, что когда мы говорим о шарообразности Земли, то не имеем в виду реальную земную поверхность. Поверхность Земли неровная, на ней имеются высокие горы и глубокие ущелья. Речь идет о некоторой идеальной поверхности, часть которой составляет поверхность мирового океана. Там же, где нет океанов или морей, такую поверхность представляют мысленно и относительно нее считают высоту рельефа местности. Именно эта высота и указывается на географических картах.

Как впервые измерили Землю? В чем состоял способ Эратосфена?

После того, как была выдвинута гипотеза о шарообразности Земли, возник вопрос о её размерах. Первый дошедший до нас способ измерения размеров Земли был предложен и осуществлен ученым из Александрии Эрастофеном в III веке до н.э . Из рассказов путешественников Эрастофену было известно, что в городе Сиене (ныне Асуан), находящемся к югу от Александрии, имеется колодец, дно которого освещается Солнцем ровно в полдень самого длинного дня в году. Измерения Эратосфена показали, что в тот же день и час отклонение Солнца от Зенита в Александрии составляет 1/50 часть окружности и, следовательно, длина окружности Земли в 50 раз больше расстояния от Александрии до Сиены. Измерив это расстояние с помощью посланного им гонца, Эрастофен определил длину окружности Земли. Она оказалась равна 250 тысячам стадий. Стадия не была точно определенной мерой длины. За стадию принималось расстояние, которое проходит человек за время, нужное для подъема Солнца над горизонтом. Учитывая среднюю скорость человека, и то, что подъем Солнца над горизонтом происходит за 2 минуты, можно заключить, что стадия составляет примерно160-185 м. Если за эту стадию принять 160 м, то получится очень точный результат 40 000 км. Однако ясно, что измерения Эратосфена не могли быть такими точными хотя бы потому, что Сиена расположена не строго на юг от Александрии, и точность измерения шагами не очень велика .

Теоретические вопросы изучения темы «Объемы пространственных фигур».

Наиболее сложными для понимания в стереометрии является тема «Объемы пространственных фигур». В действующих учебниках по стереометрии при выводе формул объёмов наклонного параллелепипеда, пирамиды, шара, тел вращения применяется сложный математический аппарат, основанный на использовании понятия предела и интегрального исчисления, что делает этот материал труднодоступным для нас. Мы предлагаем использовать вместо этого так называемый принцип Кавальери, являющийся достаточно наглядным и позволяющий вывести все необходимые формулы объёмов без использования понятия предела или интегрального вычисления.

Приведем краткое содержание разработанных нами вопросов по данной теме.

Объем цилиндра

Объём пространственной фигуры определяется как число, показывающее, сколько раз единица измерения объёма укладывается в данной фигуре. Отмечается, что это число может быть натуральным, рациональным или даже действительным, но обязательно неотрицательным.

Свойства объема, которые могут приниматься за аксиомы:

• объём фигуры в пространстве является неотрицательным числом;
• объем куба с ребром 1 равен единице;
• равные фигуры имеют равные объёмы;
• если фигура Ф составлена из двух фигур Ф1 и Ф2, то объём фигуры Ф равен сумме объемов фигур Ф1 и Ф2.

Вопрос в вычислении объема прямого цилиндра (рис. 10), основанием которого служит фигура F площади S и высота цилиндра равна h. Поскольку единица измерения площади укладывается в основании S раз, а единица измерения длины укладывается в высоте h раз, то из этого делается вывод, что единица измерения объёма должна укладываться в цилиндре S*h раз, т.е. формула объёма прямого цилиндра имеет вид.

В частности, объём прямоугольного параллелепипеда с ребрами а, b, c вычисляется по формуле .

Объём прямой призмы с площадью основания S и высотой h вычисляется по формуле .

Объём прямого кругового цилиндра, высота которого равна h и радиус основания R, вычисляется по формуле .

Принцип Кавальери для вывода формул объема фигур

Принцип Кавальери формулируется следующим образом: «Если при пересечении двух фигур в пространстве плоскостями, параллельными одной и той же плоскости, в сечениях получаются фигуры одинаковой площади, то объёмы исходных пространственных фигур равны».

Для обоснования этого принципа представим фигуры Ф1 и Ф2 составленными из тонких слоёв одинаковой толщины, которые получаются в сечениях фигур Ф1 и Ф2 параллельными плоскостями . Считая слои прямыми цилиндрами, из равенства площадей их оснований и равенства высот, получаем, что равны и объёмы соответствующих слоёв. Следовательно, равны и объёмы фигур Ф1 и Ф2 составленные из этих слоёв.

Применяя этот принцип, найдем объём полного наклонного цилиндра с основанием F площади S и высотой h. Для этого рассмотрим прямой цилиндр с таким же основанием и высотой и расположим эти цилиндры так, чтобы их основания находились в одной плоскости. Тогда сечения этих цилиндров плоскостями, параллельными этой плоскости, дают фигуры, равные фигуре F. Следовательно, эти сечения имеют равные площади. По принципу Кавальери отсюда следует равенство объёмов цилиндров, и, значит, для объема наклонного цилиндра имеет место формула, где S – площадь основания, h – высота.

Используя принцип, Кавальери аналогичным образом можно показать, что если два конуса имеют равные высоты и основания равной площади, то они имеют и равные объёмы.

Объём конуса

Сначала рассматривается случай треугольной пирамиды . Пусть ABCА1 – треугольная пирамида. Достроим её до треугольной призмы ABCА1В1С1. Плоскости, проходящие через точки B, C, А1 и C, B1, А1 разбивают эту призму на три пирамиды ABCА1, CBB1А1 и CB1С1А1 с вершинами в точке А1.

Пирамиды СВВ1 А1 и СВ1С1 А1 имеют равные основания СВВ1 и СВ1С1, так как диагональ СВ разбивает параллелограмм СВС1В1 на два равных треугольника. Кроме того, у этих пирамид общая вершина и, следовательно, общая высота. Значит, эти пирамиды так же имеют равные объёмы.

Большим успехом у наших учеников пользуется материальная иллюстрация идеи о том, что всякую треугольную призму можно разложить на три равновеликие пирамиды . Эта модель склеена из плотной бумаги, вдоль ребер BC и А1C1 приклеена полоска ткани, поддерживающая целостность модели.

Таким образом, объёмы всех трёх пирамид равны. Учитывая, что объём призмы равен произведению площади основания на высоту, получаем формулу объёма пирамиды, где S – площадь основания, h - высота.

Рассмотрим теперь произвольный конус с площадью основания S и высотой h. Покажем, что его объем так же выражается формулой

Для этого возьмем какую-нибудь треугольную пирамиду с основанием площади S и высотой h. Эта пирамида и конус имеют равные объемы, и, значит, требуемая формула выполняется. В частности, эта формула справедлива для треугольной пирамиды и кругового конуса.

Объём шара

Рассмотрим теперь вопрос о нахождении формулы объема шара. Пусть дан полушар радиуса R, основание которого расположено в плоскости а.

Возьмем прямой круговой цилиндр, основание которого (круг радиуса R) расположено в плоскости а, а высота равна R. В цилиндр впишем круговой конус, основание которого совпадает с верхним основанием цилиндра, а вершина расположена в центре нижнего основания цилиндра. Рассмотрим фигуру в пространстве, состоящую из точек цилиндра, не попавших внутрь конуса, и покажем, что эта фигура и полушар имеют равные объёмы. Для этого проведем плоскость, параллельную плоскости а, на расстоянии х от нее, 0 ≤ х ≤ R. В сечении полушара этой плоскостью получится круг радиуса и площади. В сечении другой фигуры получается кольцо, радиус внутреннего круга в котором равен х, а внешнего R. Площадь этого кольца равна , т.е равна площади сечения полушара. По принципу Кавальери отсюда следует, равенство объёмов рассматриваемых фигур.