Решение логических задач

Человеку в течение жизни часто приходится находить выход из затруднительного положения с помощью магических рассуждений. Этот навык можно получить уже в школьные годы.

Один из самых мощных инструментов развития мышления и интеллекта – логические задачи. Каждая из таких задач – математическая миниатюра, побуждающая к самостоятельному исследованию.

В данной работе представлены два метода решения задач – табличный и с помощью кругов Эйлера.

Изложение вопроса было бы невозможным без использования некоторых теоретико-множественных понятий. Поэтому совершенно естественно их включение в располагаемый круг вопросов.

Однородные задачи расположены в порядке возрастания их трудности, но все они не требуют особых знаний из области математики и поэтому доступны учащимся уже с 6-7 класса.

Множество – основное математическое понятие. В обыденной жизни его смысл выражается словами: совокупность, набор, класс, коллекция, экипаж, стая, табун и др. Вообще, элементами множества могут быть предметы любой природы. Эти предметы называют элементами множества. Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита, а так же с помощью фигурных скобок, внутри которых перечисляют все элементы.

Если из некоторых элементов множества М составить новое множество Р, то можно сказать, что Р есть подмножество М.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым множеством.

Над множествами, так же как и над числами, производят некоторые операции. Их называют пересечение, объединение, заполнение.

Возьмем множество М, состоящее из букв а, б, в, г и множество Р, состоящее из букв в, г, д. Эти множества имеют общие элементы: в и г. Множество общих элементов М и Р называют пересечением множеств. М и Р обозначают с помощью знака ∩: М ∩ Р = {г, д }.

Если из элементов множеств М и Р составить новое множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее других элементов, то получится объединение множеств М и Р, которое обозначается с помощью знака U: М U Р = {а, б, в, г, д}.

Пересечение и объединение множеств выполняется для любой пары множеств. Третья операция - дополнение – имеет смысл не для всех множеств, а лишь для тех, когда одно является подмножеством другого. Например, если М= { 1;2;3;4;5}, Р= {1;3;5},то составив новое множество из тех элементов М, которые не вошли в Р, мы получим дополнение Р до М и обозначим Р: Р= {2;4}.

Заметим, что дополнение множества М до множества Р не имеет смысла, так как М не является подмножеством Р.

Количество свойств можно наращивать. Одним из первых, кто использовал такие рисунки, был Леонард Эйлер (1707-1783), долгие годы работавший в Петербургской Академии наук. В одной из своих научных работ он писал об этих кругах: ˝ Они очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления˝. После Эйлера этот метод разрабатывал чешский математик Бернард Больцано (1781-1818). Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные схемы. Но наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского ученого Джона Венна (1843-1923). В честь Венна вместо кругов Эйлера подобные рисунки называют иногда диаграммами Венна.

Для решения логических задач очень удобным и наглядным является использование кругов Эйлера.