Псевдоевклидово пространство

Вообще в двумерном псевдоевклидовом пространстве (n=2) индекс k может принимать значения 0, 1, 2.

Случай k=0 приводит к двумерной собственно евклидовой геометрии.

Случай k=2 отличается от предыдущего лишь формально. В этом случае оба вектора ортонормированного репера мнимоединичные. Таким образом, скалярные квадраты и скалярные произведения отличаются лишь знаком от скалярных произведений и квадратов на обычной плоскости, а значит все расстояния будут отличаться от обычных лишь на множитель i. Теперь расстоянием мы называем выражение вида АВ=i. Таким образом, существенных различий при индексе k=2 с собственно евклидовой геометрией нет. В дальнейшем будем считать, что если в ортонормированном базисе скалярный квадрат вектора имеет вид, то такая геометрия отличается от собственно евклидовой лишь формально. В дальнейшем этот случай будет исключаться из рассмотрения. Если же индекс k=1, то этот случай будет для нас по-настоящему интересен. Соответствующее двумерное псевдоевклидово пространство будем называть псевдоевклидовой полскостью.

Двумерные плоскости трехмерного псевдоевклидова пространства, причем для простоты будем проводить их тоже через начало О. Здесь возможны три случая.

• Плоскость проходит, не считая точки О, целиком вне изотропного конуса. Тогда все ее векторы (не считая вектора =0) обладают положительным скалярным квадратом >0, так что плоскость обладает собственно евклидовой геометрией (т. е. на ней имеет место обычная планиметрия). Примером такой плоскости может служить координатная плоскость Х1ОХ2. Обратно, всякая собственно евклидова плоскость, проходящая через О, может быть координатной плоскостью Х1ОХ2 при подходящем выборе ортов (1, 2 строим в плоскости,0 – ортогонально к ней).
• Плоскость касается изотропного конуса по одной образующей. Заметим прежде всего, что касание плоскости с изотропным конусом по его образующей равносильно тому, что плоскость проходит через начало О и ортогональна к этой образующей. В самом деле, пусть - радиус-вектор какой-либо (отличной от О) точки на образующей. Тогда, как видно из уравнения изотропного конуса, уравнение плоскости, касательной к нему, в этой точке (а, следовательно, и вдоль всей образующей) будет: -x0u0+x1u1+x2u2=0 . Это уравнение можно переписать в виде. Таким образом, равносильно тому, что радиус-вектор любой точки плоскости ортогонален , т.е. что плоскость проходит через О и ортогональна к образующей. Этим наше утверждение доказано. Теперь ясно, что плоскость, касающаяся изотропного конуса по образующей, будет изотропной (так как она содержит вектор , ортогональный ко всем ее векторам). Обратно, всякая изотропная плоскость, проходящая через О, будет касаться изотропного конуса по некоторой образующей. В самом деле, прямая, ортогональная к изотропной плоскости, сама будет изотропной и, следовательно, если ее провести через начало О, является образующей изотропного конуса. Таким образом, наша изотропная плоскость проходит через О и ортогональна к одной из образующих изотропного конуса, а это, как мы только что видели, равносильно касанию с изотропным конусом вдоль этой образующей.
• Плоскость пересекается с изотропным конусом по двум образующим. Тем самым случай касания с конусом устранен, а значит, плоскость неизотропная и несет на себе евклидову метрику. Индекс этой метрики не может быть равен 0 или 2 (собственно евклидов и сводящийся к нему случай), т. к. в этих случаях на плоскости нет изотропных прямых, в то время как наша плоскость их содержит (а именно, две образующие, по которым она пересекается с изотропным конусом, и, конечно, все параллельные им прямые). Остается случай k=1, т.е. наша плоскость псевдоевклидова. Примером такой плоскости может служить, очевидно, координатная плоскость X0OX1. Обратно, всякая псевдоевклидова плоскость, проходящая через О, может быть принята за плоскость Х0ОХ1 при подходящем выборе ортов ( - на плоскости, - ортогонально к ней).

Заметим, что в случае n-мерного псевдоевклидова пространства индекса k=1 все наши рассуждения (проведенные для случая n=3) повторяются дословно; только вместо изотропного конуса нужно рассматривать изотропный гиперконус , а вместо плоскостей – гиперплоскости.

Рассмотрим теперь картину взаимно ортогональных направлений в нашем пространстве. Здесь будет более наглядным рассматривать не взаимно ортогональные прямые, а взаимно ортогональные прямую и плоскость (проходящие для простоты через начало О). Пусть прямая задана направляющим вектором . Тогда радиус-векторы точек плоскости удовлетворяют условию , т. е. плоскость опеделяется уравнением . С точки зрения изображения эта плоскость ортогональна к вектору, который представляет собой зеркальное отражение вектора относительно плоскости Х1ОХ2. Можно сказать и так, что, проводя плоскость, ортогональную к данной прямой с точки зрения изображения, и беря ее зеркальное отражение относительно плоскости Х1ОХ2 (тоже с точки зрения изображения), получаем плоскость, ортогональную к данной прямой с точки зрения псевдоевклидовой геометрии. Очевидно, что, когда данная прямая вращается в направлении к изотропному конусу, ортогональная плоскость вращается ей навстречу, причем, когда прямая занимает положение образующей, ортогональная плоскость становится касательной к конусу вдоль этой образующей.

Рассмотрим еще изображения сфер нашего псевдоевклидова пространства, для простоты, с центром в О. Снова (как и для окружностей) рассмотрим случаи действительного, мнимого и нулевого радиуса.

Вообще уравнение сферы с центром в О, т. е. уравнение геометрического места точек с постоянным расстоянием ρ от О. Если ρ=а (радиус действительный), то получаем , т.е. в нашем изображении сфера действительного радиуса выглядит как однополостный гиперболоид вращения с осью вращения ОХ0.

Если ρ=аi (радиус чисто мнимый), то имеем , и сфера чисто мнимого радиуса выглядит в изображении как двуполостный гиперболоид вращения с осью вращения ОХ0.

В обоих случаях асимптотическим конусом гиперболоидов служит изотропный конус.

Если же ρ=0, то уравнение сферы совпадает с уравнением изотропного конуса, так что сферой нулевого радиуса является изотропный конус, что ясно, конечно, и из его определения.

Скалярный квадрат вектора будет теперь выражаться формулой вместо частного случая этой формулы 2= - х02+ х12 + х22. Нетрудно повторить все построения и выводы предыдущего параграфа для n-мерного случая. Так, изотропный гиперконус определяется уравнением =0, его внутренняя область определяется условием <0, а внешняя – условием >0. Наименование «внешняя» и «внутренняя» можно оправдать без апелляции к наглядности тем, что внутренняя область всегда содержит вместе с двумя какими-нибудь точками А, В и соединяющий их отрезок; внешняя область таким свойством не обладает.

Теорема: если гиперплоскость ортогональна к образующей изотропного гиперконуса, то она является касательной к нему и изотропной.

Доказательство: докажем, что эта гиперплоскость изотропная. Т.к. образующая является изотропной прямой, то и ортогональная ей гиперплоскость является изотропной (по теореме об ортогональной прямой и плоскости). Пусть образующая и гиперплоскость имеют общую точку О. Тогда гиперплоскость проходит через эту образующую и точку О (по теореме об ортогональной прямой и плоскости). А это значит, что плоскость касается гиперконуса по образующей, т. е. является касательной, что и требовалось доказать.