Правильные многогранники

Многогранником называется тело, граница которого состоит из многоугольников. Детские кубики, архитектурные сооружения, ювелирные украшения – оглянитесь вокруг, и вы найдете многогранники повсюду.

Еще в Древней Греции были описаны все правильные многогранники. Их пять: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр.

Актуальность темы состоит в том, что в своей деятельности человек повсюду сталкивается с необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение пространственных фигур. Раздел геометрии, в котором изучается все это, называется стереометрией. И именно в стереометрии изучаются еще правильные многогранники. Мы считаем, что эту тему в школьном курсе геометрии, надо рассматривать как можно глубже. Ведь нас окружают многогранники повсюду.

Многогранники – тела, ограниченные плоскими многоугольниками, - окружают нас повсюду: ведь самая популярная форма современного здания, радиоприемника, телевизора, шкафа – параллелепипед . Среди разнообразных форм многогранников выделяют правильные многогранники – те, которые построены из одинаков многоугольников, причем в каждой вершине сходится одинаковое количество таких многоугольников.

Куб, его поверхность образована равными квадратами- гранями. У каждой грани четыре вершины, но каждая из вершин принадлежит сразу трем граням; всего вершин у куба восемь. Каждая грань имеет четыре стороны. Стороны граней имеются ребрами куба. Всего их двенадцать, и каждое ребро принадлежит двум граням. Пожалуй, куб – самый хороший знакомый нам многогранник. Но не самый простой. В этом отношении чемпионом является треугольная пирамида, или тетраэдр. У нее только четыре вершины, а меньше и взять нельзя – ведь любые три точки уже лежат в одной плоскости. Граней тоже четыре – это треугольники с вершинами в вершинах тетраэдра, а ребер шесть. При всей своей незамысловатости тетраэдр обладает множеством интересных свойств. Тетраэдр и куб – представители двух семейств многогранников, которые наиболее часто встречаются и на уроках в школе, и вокруг нас. Тетраэдр – частный вид пирамиды, а куб – призмы. Многогранники можно определять – описав их грани.

Так, п -угольная пирамида – многогранник, одна из граней которого (основание) произвольный п - угольник, стальные п- граней – треугольники. Можно не уточнять, как ее грани соединяются друг с другом, потому что если вы начнете составлять из них многогранник, то сразу убедитесь , что все треугольники обязаны иметь общую вершину, а их стороны, противоположные этой вершине, должны быть и сторонами основания.

Аналогично п -угольная призма образована двумя равными п –угольниками (основаниями), Лежащими в параллельных плоскостях и п параллелограммами. Но будьте осторожны, не пропустите в данном определении маленькую букву п !

Есть еще несколько видов многогранников, связанных с призмами и пирамидами: усеченная пирамида, бипирамида антипризма.

В необъятном океане многогранных форм выделяются своим совершенством пять правильных многогранников, или Платоновых тел, построение которых венчает « Начала» Евклида.

Многогранник называют правильным, если у него равны стороны и углы. Примерно так же определяются и правильные многогранники.

Выпуклый многогранник называется правильным ,если его грани – равные правильные многоугольники и двугранные углы при всех ребрах равны между собой.

Правильных многоугольников бесконечно много: при каждом n ≥ 3 имеется правильный n- угольник (причем только один с точность до подобия). Правильных многогранников всего пять. Попробуем понять почему.

Правильные многогранники называют также Платоновыми телами, хотя их знали за несколько веков до Платона. В диалоге «Тимей» Платон связал их с четырьмя основными элементами. Он считал, что куб, тетраэдр, октаэдр и икосаэдр имеют форму корпускул земли, огня, воздуха и воды соответственно. Пятый же многогранник он считался моделью Вселенной.

С именем другого великого грека , Архимеда , связываю так называемые полуправильные многогранники(архимедовы тела). Он описывал их в несохранившейся книге « О многогранниках». Имеются 13 архимедовых тел, которые получаются усечением правильных многогранников , и еще две бесконечные серии – правильные призмы и антипризмы с равными ребрами.

Элементы симметрии правильных многогранников

Важнейшими свойствами правильных многогранников является их симметричность. Рассмотрим элементы симметрии правильных многогранников.

Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии. Прямая, проходящая через середины двух противоположных ребер , является его осью симметрии. Плоскость α, проходящая через ребро АВ перпендикулярно к противоположному ребру CD правильного тетраэдра АВCD, является плоскостью симметрии.

Куб имеет один центр симметрии – точку пересечения диагоналей. Прямые a и b , проходящие соответственно через центры противоположных граней и середины двух противоположных ребер, не принадлежащих одной грани, являются осями симметрии. Куб имеет девять осей симметрии. Все оси проходят через центр симметрии. Плоскостью симметрии куба является плоскость, проходящая через любые две оси симметрии. Куб имеет девять плоскостей симметрии.

Формула Эйлера выполняется не только для выпуклых многогранников и даже не только для многогранников. Нарисуем на сфере любой связанный граф, то есть возьмем несколько точек (вершин) и соединим часть их линиями (ребрами) так, чтобы из любой вершины можно было по ребрам перейти в любую другую. Подсчитаем число образовавшихся граней – фрагментов, на которые линии разрезают сферу, число граней будет связанно с числами вершин и ребер тем же соотношением. Величина В-Р+Г, называемая эйлеровой будет равна 2 для всех многогранников, «устроенных, как сфера», - они, образно говоря превратятся в шарик, если их сделать из резины и надуть. Такие многогранники именуют простыми. Очевидно все выпуклые многогранники простые. Но, например эйлеровая характеристика «треугольного бублика» равна нулю. Можно показать, что для многогранника, имеющего g «сквозных дыр» она равна 2-2 g .