Определение и разновидности фракталов

Геометрию часто называют "холодной" и "сухой". Одна из причин этого состоит в ее неспособности описать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Облака - не сферы, горы - не конусы, береговые линии - не окружности, древесная кора не гладкая, молния распространяется не по прямой. Многие природные объекты настолько иррегулярны и фрагментированы, что по сравнению со стандартной геометрией Евклида природа обладает не просто большей сложностью, а сложностью совершенно иного уровня.

Фракталы - это геометрические объекты с удивительными свойствами: любая часть фрактала содержит его уменьшенное изображение. То есть, сколько фрактал не увеличивай, из любой его части на вас будет смотреть его маленькая копия. Эти удивительные фигуры стали широко известными в 70-х годах прошлого века благодаря Бенуа Мандельброту, работавшему тогда математическим аналитиком в фирме IBM. Он придумал и само слово "фрактал", которое образовано от латинского fractus - "дробный". В математике эти необычные объекты встречались то здесь, то там с конца девятнадцатого века. Но именно Мандельброту удалось собрать эти разрозненные сведения, увидеть общее в многообразии и указать на важность этого открытия.

Кроме самоподобия, фракталы замечательны еще и тем, многие из них удивительно похожи на то, что мы встречаем в природе. Снежинку, морского конька, ветви деревьев, разряд молнии и горные массивы можно нарисовать, используя фракталы. Поэтому многие современные ученые говорят о том, что природа имеет свойство фрактальности.

Формального определения понятия фрактал не существует. А описание предмета фрактальной геометрии дал создатель Бенуа Мандельброт в своей книге «Фрактальная геометрия природы»: «Почему геометрию часто называют “холодной” и “сухой”? Одна из причин состоит в ее неспособности описать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Облака – не сферы, горы – не конусы, береговые линии – не окружности, древесная кора не гладкая, молния распространяется не по прямой. Я утверждаю, что многие природные объекты настолько иррегулярны и фрагментированы, что по сравнению со стандартной геометрией Евклида природа обладает не просто большой сложностью, а сложностью совершенно иного уровня».

Существует несколько разновидностей фракталов, которые отличаются друг от друга не только способами построения, но и областями использования и самой сущностью этих фракталов.

Самые большие группы это:

• геометрические фракталы
• алгебраические фракталы
• стохастические фракталы

К геометрическим фракталам относят такие, как кривая Коха и коврик Серпинского. Снежинка Коха строится на основе равностороннего треугольника. Каждая линия этого треугольника ___ заменяется на 4 линии каждая длинной в 1/3 исходной _/\_. Таким образом, с каждой итерацией длинна кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций - получим фрактал - снежинку Коха бесконечной длинны.

Для построения коврика Серпинского из центра треугольника мысленно вырежем кусок треугольной формы, который своими вершинами будет упираться в середины сторон исходного треугольника. Повторим эту же процедуру для трех образовавшихся треугольников (за исключением центрального) и так до бесконечности. Если мы теперь возьмем любой из образовавшихся треугольников и увеличим его - получим точную копию целого.

Кривая Коха является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха.

К этому же классу фракталов относится и драконова ломаная нулевого порядка представляет собой просто прямой угол. Изображение фигуры каждого следующего порядка строится путем рекурсивных замен каждого из отрезков фигуры младшего порядка на два отрезка, сложенных также в виде прямого угла.

Один из способов построения кривой дракона - складывание длинной бумажной полоски. Начнем с горизонтальной полоски: согнем вверх ее правую половину и наложим на левую. Затем сложим полученную двойную полоску так, чтобы перегиб, расположенный ранее справа, совпал с левым краем сложенной полоски; повторим этот процесс столько раз, сколько сможем. (Практически это вряд ли удастся сделать больше семи раз, но теоретически процесс можно продолжать до бесконечности). Если после этого бумагу развернуть, то на ней получится интересная последовательность сгибов. Обозначим обращенный вверх сгиб через U, а обращенный вниз сгиб - через D. Тогда начало последовательности выглядит так:

Кривая Пеано — общее название для параметрических кривых образ которых содержит квадрат (или, более общо, открытые области пространства)

Обычно такие примеры строятся как предел последовательности кривых.