Некоторые сечения в кубе

Ребро куба пересекает диагональ грани, т.е. заданная точка лежит на той же грани, что и заданная диагональ.

Например, в кубе ABCDA1B1C1D1 диагональ A1C1 пересекает рёбра A1B1, B1C1, C1D1, A1D1 .

Ребро куба и заданная диагональ лежат на скрещивающихся прямых. При этом условии возможны два случая: угол между прямыми равен 90( или угол между ними равен 45(.

Рассмотрим первый случай: угол между прямыми равен 45(.

Например, в кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром a дана диагональ A1C1 и точка K, лежащая на ребре AB. Установить взаиморасположение прямых A1C1 и AB .

AB лежит в плоскости грани AA1B1B, а прямая A1C1 пересекает эту плоскость в точке A1, не лежащей на прямой AB, следовательно A1C1 и AB скрещиваются.

Т.к. AB║A1B1, то угол между AB и A1C1 равен углу между A1B1 и A1C1, то есть 45(, т.к. ∆A1B1C1 является прямоугольным и равнобедренным (A1B1 = B1C1).

Т.о. A1C1 и AB скрещиваются, угол между ними равен 45°.

Рассмотрим второй случай: угол между прямыми равен 90(.

Например, в кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром a дана диагональ A1C1 и точка K, лежащая на ребре BB1. Установить взаиморасположение прямых A1C1 и BB1 .

A1C1 лежит в плоскости грани A1B1C1D1, а прямая BB1 пересекает эту плоскость в точке B1, не лежащей на прямой A1C1. Следовательно, по признаку скрещивающихся прямых, A1C1 и BB1 скрещиваются.

Рассмотрим треугольники ∆A1B1K и ∆C1B1K. Во-первых, они являются прямоугольными, т.к. (A1B1K и (C1B1K являются углами граней – квадратов. Во-вторых, B1K – общий катет. В-третьих, A1B1= C1B1=a – рёбра куба.

Т.о. ∆A1B1K = ∆C1B1K (по двум соответственно равным сторонам и углу между ними), следовательно, A1K = C1K.

Получили, что ∆A1KC1 является равнобедренным по определению.

Возьмём точку H – середину A1C1. Проведём отрезки KH и B1H. Они являются медианами ∆A1KC1 и ∆A1B1C1 соответственно. Следовательно, по свойству медианы равнобедренного треугольника, опущенной на основание, KH и B1H высоты заданных треугольников.

Точки K, H и B1 задают плоскость (KHB1). Прямые B1H и KH лежат в данной плоскости, а прямая HC1 перпендикулярна каждой из них. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой к плоскости, HC1((KHB1). Следовательно, по определению прямой, перпендикулярной к плоскости, прямая HC1 перпендикулярна любой прямой плоскости (KHB1), т.е. HC1(BB1.

Т.о. A1C1 и BB1 скрещиваются, угол между ними равен 90°.

Виды возможных сечений (при всех условиях m и n – положительные действительные числа).

Если данная точка лежит на ребре грани (с заданной условием исследования диагональю), то искомое «сечение» - грань куба, то есть квадрат (при условии, что точка K не совпадает с вершинами A1 и C1, в противном случае плоскость сечения построить нельзя - единственную плоскость нельзя провести через три точки, лежащие на одной прямой).

Например, в кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром a дана диагональ A1C1 и точка K, лежащая на ребре A1B1 и делящая его на отрезки A1K и KC1, находящиеся в отношении m:n, считая от вершины A1. Требуется найти площадь сечения куба плоскостью, проходящей через диагональ A1C1 и точку K .

Искомое «сечение» - грань куба ABCDA1B1C1D1, то есть квадрат со стороной a. Искомая площадь определяется по формуле S = a2.

Если данная точка лежит на диагонали противолежащей грани куба, параллельной данной, и при этом является вершиной данного куба, то искомое сечение является прямоугольником. Например, в кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром a дана диагональ A1C1,вершины A и C. Требуется найти площадь сечения куба плоскостью, проходящей через диагональ A1C1 и точки A и C . Искомое сечение - AA1C1C.

Т.к. AA1║BB1 (AA1B1B – квадрат), BB1║CC1 (BB1C1C – квадрат), то. A1C1║AC – по свойству куба. Следовательно, AA1C1C – параллелограмм.

ABCDA1B1C1D1 – куб, следовательно, AA1((ABCD)., CC1((ABCD).

Таким образом, AA1((ABCD), следовательно по определению прямой, перпендикулярной к плоскости, AA1(AC. Т.к. CC1((ABCD), то CC1(AC.

В результате получен параллелограмм, имеющий прямой угол. Следовательно, параллелограмм AA1C1C является прямоугольником, его площадь определяется по формуле S=AA1∙A1C1.

Отрезок A1C1 является гипотенузой прямоугольного и равнобедренного треугольника A1B1C1. По теореме Пифагора . Тогда искомая площадь определяется по формуле.