Множество значений функции

Одно из основных понятий математики – понятие функции, системно изучается в курсе алгебры, начиная с 7 класса, рассматриваются свойства функции и алгоритмы их нахождения.

Готовясь к ЕГЭ я пришла к выводу, что знаний полученных при решении задач школьного курса недостаточно для выполнений заданий на нахождение множество значения функции, предложенных в контрольно-измерительных материалах. Задания предлагаемые в ЕГЭ предполагают либо исследование функции элементарными методом (без помощи производной), либо исследование функций неэлементарными методами (с нахождением области определения некоторой функции, множества ее значений, наибольшего (наименьшего) значения функции, четности (нечетности), нулей функции.

При изучении функции в школьном курсе математики большое внимание уделяется свойствам функции: вводятся их определения и алгоритм вычисления. При нахождении множества значения функции в основном используются графики функций, метод оценки или производная. Этого не достаточного при решении задач повышенной сложности. В заданиях части С может требоваться решить уравнение или неравенство, при решении которых также используются свойства функции, в том числе множество значений функций. Так, например, владение аналитическим методом требуется при нахождении области значений тригонометрических, логарифмических и сложных функций.

Определение функции

Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу a из множества X сопоставляется по некоторому правилу число b, зависящее от a.

С каждой функцией связано множество { f (x) }; x є X . Его называют областью значений (или множеством значений) функции f и обозначают E (f).

Для некоторых функций область значений не ограничена, т.е. E (f) = R, где R – множество всех действительных чисел.

Примером таких функций служат

Мы заметили, что нечётные функции, заданные многочленом, имеют неограниченную область значений, так как они монотонно возрастают или убывают на всей области определения, а их графики симметричны относительно начала координат.

Итак, множество значений функции являются действительные числа, удовлетворяющие неравенствам: 1Методы нахождения множества значений функции

В школьном курсе математики в основном решают задачи на нахождение множества значений функции построив график функции и «считав» с него данный промежуток, который и записывают ответ. Или используют свойства непрерывности и монотонности функции.

Среди числовых значений, принимаемых на заданном отрезке непрерывной функцией, всегда имеется как наименьшее значение m, так и наибольшее значение М. Множество значений функции заключено между числами m и M.

Метод оценки

Для нахождения множества значений функции сначала находят множество значений аргумента, затем, используя свойства неравенств, отыскивают соответствующие наименьше и наибольшее значения функции функции. Если есть возможность путем тождественных преобразований получить функцию, которая на всей области определения или на заранее заданном множестве является непрерывной и либо только возрастающей либо только убывающей, тогда используя свойства неравенств оценивают множество значений  вновь полученной функции.