Методы построения сечений многогранников.

1 Метод следов.

Строится прямая l (след) пересечения секущей плоскости с плоскостью основания пирамиды (призмы). Находятся точки пересечения прямой l с плоскостями боковых граней и диагональных сечений пирамиды (призмы). Эти точки вместе с данными точками секущей плоскости определяют прямые, которым принадлежат стороны (диагонали) искомого сечения.

Пример. Дано изображение четырёхугольной пирамиды MABCD. Точка P лежит на ребре AM, E – на ребре MD, К – на ребре MB. Построить сечение пирамиды плоскостью РКЕ. Для построения следа l секущей плоскости РКЕ с плоскостью основания АBCD пирамиды необходимо найти две точки, принадлежащие плоскостям РКЕ и ABC.

Построение.

Строю точки Y = РЕ ∩ AD и X = РК ∩АВ, Прямая ХУ является следом l, так как точки X и Y принадлежат плоскостям ABC и РКЕ.Для построения точки пересечения секущей плоскости с ребром СМ (или его продолжением) найдём точку Н пересечения следа l с плоскостью АСМ (этой плоскости принадлежит прямая СМ). Очевидно, точка Н = l ∩АС. Строим точку F = РН ∩ МС. Четырёхугольник PEFK - искомое сечение.

2. Метод деления n-угольной пирамиды (призмы) на треугольные пирамиды (призмы).

Из данной n-угольной призмы (пирамиды) выделяется та треугольная призма (пирамида), на боковых ребрах которой лежат точки, определяющие искомое сечение. Строится сечение этой треугольной призмы (пирамиды). Строятся сечения тех треугольных призм (пирамид), которые имеют общие части с фигурой.

Пример. Дано изображение пятиугольной призмы ABCDEA1B1C1D1E1. Точка Р лежит на ребре АА1, Н – на ребре ЕЕ1, Т – на ребре ВВ1, Построить сечение призмы плоскостью РНТ.

Построение. Замечаю, что треугольник РНТ является сечением треугольной призмы АВЕА1В1Е1|. С этой призмой имеют общие части призмы ABCA1B1С1 и ADEA1D1E1. Обозначу М = АС ∩ BE, К = AD ∩ BE, M1 = A1C1 ∩ B1E1, К1 =А1D1∩ B1E1. Очевидно, отрезок MM1,является пересечением боковых граней АСС1А1 и ВЕЕ1В1 призм ABCA1B1C1 и ADEA1D1E1. Теперь понятно, что треугольник PTY (Y = PQ ∩ СС1 является сечением призмы ABCA1B1C1 плоскостью РНТ. На основании аналогичных рассуждений получаем F=TH∩KK1 X=PE∩DD1

Треугольник РНХ - сечение призмы EA1D1E1 плоскостью РТН. Пятиугольник PTYXH - искомое сечение.

3. Метод дополнения n-угольиой пирамиды (призмы) до треугольной пирамиды (призмы).

Данная призма (пирамида) достраивается до треугольной призмы (пирамиды). Строится сечение полученной треугольной призмы (пирамиды). Искомое сечение получается как часть сечения треугольной призмы (пирамиды).

Пример. Дано изображение пятиугольной пирамиды MABCDE. Точка F лежит на ребре AM, точка Т - на МС. Построить сечение пирамиды плоскостью FBT.

Построение. Строю Р = ВС∩DE, К = АВ∩DE. Соединяю отрезками точки М и К, Р и М и получаю треугольную пирамиду МКВР, частью которой является данная пятиугольная пирамида. Строю сечение пирамиды МКВР плоскостью FBT. X = FB∩KM, Y= ВТ∩МР.Треугольник XYB - сечение пирамиды МКВР плоскостью FBT, Получаю Q=EM∩XY, H=MD∩XY. Пятиугольник QHTBF - искомое сечение данной пятиугольной пирамиды.

4. Метод параллельных прямых.

В основу метода положено свойство параллельных плоскостей «Прямые, по которым плоскость пересекает данные параллельные плоскости, параллельны между собой». Поясню сущность этого метода примером.

Пример. Дано изображение пятиугольной призмы ABCDEA1B1C1D1E1. Точка К лежит на ребре АА1 точка M – на ребре CC1. Построить сечение призмы плоскостью КВМ.

Построение,Через ребро АА1, провожу плоскость α, параллельную грани BCC1B1. Получаю Р=ЕD∩α, Р1=Е1D1∩ α,F = CD∩ α, F1 = C1D1∩ α. Очевидно, A1F1|| B1С1 и AF || ВС. Так как α параллельна грани BCC1B1, то секущая плоскость КВМ пересечёт плоскость α по прямой КХ || ВМ. Получаю О = PP1∩ КХ, T = MX∩DD1, Y = EE1 ∩ТО. Пятиугольник KBMTY - искомое сечение данной призмы.

5. Метод переноса секущей плоскости.

Сначала строится вспомогательное сечение данного многогранника, которое удовлетворяет следующим требованиям:

• оно параллельно секущей плоскости;
• в пересечении с поверхностью данного многогранника образует треугольник.

После этого искомое сечение строится на основании свойств прямых, по которым две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью.

Пример. Дано изображение пятиугольной усечённой пирамиды ABCDEA1B1C1D1E1. Tочка К лежит на ребре АА1, точка М – на ребре ВВ1, точка Р - на ЕЕ1. Построить сечение пирамиды плоскостью КРМ.

Построение. Строю ВК1 || КМ, К1Р1 || КР. Получаю треугольник К1Р1В, который является сечением данной усечённой пирамиды. Причём плоскости К1Р1В и КРМ параллельны. Имею О = AD ∩ Р1В, Н = Р1В∩ АС, Через точку К провожу прямые l и f, соответственно параллельные К10 и К1H. Получаю O1 = l ∩АD, H1 = f ∩ AC, X = CC1∩ MH1, Y=CD∩O1H1.. Пятиугольник KMXYTP - искомое сечение.