Медианы треугольника и площади фигур

Изучив на уроках геометрии формулы для вычисления площадей различных многоугольников, меня удивило то, что некоторые фигуры легко делятся на две равновеликие части, то есть части, имеющие равные площади. Например, медиана треугольника делит его два равновеликих треугольника.

А что интересного получится, если провести две медианы? Нетрудно показать на рисунке слева, что при этом образовались два желтых равновеликих треугольника. Но если желтые треугольники равновелики, то оставшиеся синие треугольник и четырехугольник тоже равновелики.

Проведем третью медиану треугольника на рисунке справа. Раскрасив треугольники в шахматном порядке, получим две вертушки, розовую и сиреневую. Хотя они составлены из разных треугольников, их площади равны. Более того, можно показать, что все шесть треугольников, образовавшихся при разбиении треугольника его медианами, равновелики.

Опираясь на это замечательное свойство медианы треугольника, без особого труда можно обосновать, что если произвольную точку выпуклого шестиугольника соединить отрезком с серединами всех его сторон, то сумма площадей синих четырехугольников равна сумме площадей желтых четырехугольников.

Для доказательства достаточно выбранную произвольным образом точку также соединить отрезками со всеми вершинами шестиугольника. Тогда, используя свойство медианы треугольника, можно заметить, что и сумма площадей синих четырехугольников равна S1+S2+S3+S4+S5+S6, и сумма площадей желтых четырехугольников равна S1+S2+S3+S4+S5+S6, то есть эти суммы равны.

Используя этот же приём, покажем, что отрезки, соединяющие противоположные середины произвольного выпуклого четырехугольника, делят его на четыре части так, что сумма площадей черных частей равна сумме площадей белых.

Для этого достаточно точку пересечения этих отрезков соединить со всеми вершинами четырехугольника и обратить внимание на четыре треугольника, основаниями которых являются стороны данного четырехугольника. Проведенные к ним медианы делят площадь каждого из этих треугольников пополам, а значит сумма площадей черных равна сумме площадей белых частей данного четырехугольника.

От этой задачи совсем недалеко до серьезной задачи из «Задачника КВАНТА». Каждую сторону выпуклого четырехугольника разделим на восемь равных частей и соответствующие точки противоположных отрезков соединим отрезками. Четырехугольник будет разбит на 64 маленьких четырехугольника. Удивительным оказывается то, что если раскрасить эти маленькие четырехугольники в шахматном порядке, то сумма площадей черных четырехугольников равна сумме площадей белых.

Для обоснования этого факта нужно увидеть шестнадцать четырехугольников, для которых равенство площадей белых и черных частей доказано в предыдущей задаче. Эти четырехугольники выделены на рисунке справа. Эту задачу мне так и хочется назвать «Деформированная шахматная доска».

Ещё один вариант деления площади четырехугольника пополам можно получить, если провести два отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырехугольника с серединой его стороны. При этом окажется, что площадь белой части рана сумме площадей двух желтых частей. Это становится ясно на рисунке слева, если провести одну из диагоналей четырехугольника.

Далее, такие отрезки, делящие площадь четырехугольника пополам, можно провести по-другому. Два таких разбиения показаны слева на рисунке. Если их наложить друг на друга, то получим интересное разбиение четырехугольника на несколько частей, в котором площадь зеленого четырехугольника равна сумме площадей оранжевых треугольников.

Для доказательства этого факта обозначим буквами площади частей данного четырехугольника. Используя результаты первого и второго разбиения, можно записать два равенства: S+y+t = S1+S2+S3+S4+x+z, S+x+z = S1+S2+S3+S4+y+t.

Если сложить эти равенства, то получим равенство, после упрощения которого станет ясно, что площадь зеленого четырехугольника равна сумме площадей оранжевых треугольников. В самом деле: 2S+(x+y+z+t) = 2(S1+S2+S3+S4) + (x+y+z+t), откуда следует, что S = S1+S2+S3+S4

У нас в школе проводится международный конкурс-игра "Кенгуру - математика для всех". Этот конкурс популярен и среди моих одноклассников. В материалах «Кенгуру» прошлых лет я отыскала задачу, в решении которой можно использовать свойство медианы треугольника.

Задача №4 из теста для 9-10 класса «Кенгуру-2007». В треугольнике АВС точка D – середина АВ, точка Е – середина DВ, F – середина ВС. Если площадь треугольника АВС равна 96, то площадь треугольника АЕF равна

(А) 16 (B) 24 (C) 32 (D) 36 (E) 48

Решение. Медиана АF делит площадь треугольника АВС пополам, поэтому площадь треугольника АВF равна 96:2=48. Медиана DF делит площадь треугольника АВF пополам, поэтому площадь треугольника АDF и треугольника BDF равна 48:2=24. Медиана EF делит площадь треугольника BDF пополам, поэтому площадь треугольника DEF равна 24:2=12. Окончательно получим, что площадь треугольника AEF равна сумме площадей треугольников АDF и DEF, то есть площадь треугольника AEF равна 24+12=36.

Ответ: (D) 36 .

С помощью этого свойства медианы треугольника можно иллюстрировать сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

В самом деле, пусть площадь треугольника АВС равна 1, тогда его медиана А1В делит площадь треугольника АВС пополам, то есть площадь треугольника АВА1 равна , медиана А1В1 делит площадь треугольника А1ВС пополам, то есть площадь треугольника А1ВВ1 равна , далее, медиана А2В1 делит площадь треугольника А1В1С пополам, то есть площадь треугольника А1В1А2 равна , и так далее процесс деления треугольника АВС медианами можно продолжать до бесконечности. Суммируя площади треугольников разбиения, получим площадь данного треугольника АВС, то есть 1.

Изучая литературу по этой теме, я придумала и решила следующую задачу: В четырехугольнике ABCD точки K, F, N и L являются серединами его сторон. Точка М – произвольная точка отрезка KF. Докажите, что сумма площадей голубых частей равна сумме площадей белых.

Решение. Если провести от точки М отрезки к вершинам четырехугольника, то получим треугольники AMD, CDM, BCM,ABM, медианы которых делят их площади пополам. Поэтому сумма площадей белых частей равна S1+S2+S3+S4 и сумма площадей голубых тоже равна S1+S2+S3+S4, то есть эти суммы одинаковы.