Как делали арки и купола в старину

Стиль готика – один из самых зрелищных и впечатляющих архитектурных стилей. Своей загадочностью и мистикой он обязан не только внешней привлекательности, но и математическим расчетам. В этом я убедилась, рассмотрев построение стрельчатых арок и найдя в них иррациональность. Культовые сооружения Востока со стрельчатыми арками и подковообразными куполами также содержат иррациональности. Оказывается, иррациональность в построении обеспечивала надежность и гармоничность здания.

Стрельчатые арки

Кроме характерной для классической архитектуры полуциркульной арки в Древнем Риме был известен секрет создания еще одного вида арки - стрельчатой. По сравнению с полуциркульной, стрельчатая арка оказалась более совершенной конструкцией, так как благодаря ней происходит меньший боковой распор стен, а значит, и меньший расход камня. Чтобы убедиться в том что в стрельчатой арке присутствует иррацииональность рассмотрим решение задачи на основе которой была создана ее конструкция.

Построим окружность радиуса R с центром О. Изобразим три равные окружности, касающиеся друг друга и первой окружности и попробуем выразить их радиусы. Для этого сначала зрительно представьте их расположение на рисунке. А, В и С — центры равных окружностей, D, Е, Р — точки их касания с данной окружностью, К, L, М — точки их касания друг с другом. Радиусы равных окружностей обозначим r. ∆АВС равносторонний. Точки М, О, В, О лежат на одной прямой, так как каждая из них равноудалена от точек А и С . Аналогично точки К, О, С, Е лежат на одной прямой. Точки F, А, О, L также лежат на одной прямой.

Рассмотрим, например, треугольник АОМ. В нем АМ = r, АO=ОF—АF=R — r, угол ОАМ = 30 °, угол АМО прямой. Получаем АМ=АО*cos30°, т. е. r=. Отсюда. . Задача решена. Если соединить дугами точку F с точкой E, а затем F с точкой D, то получится форма очень близкая к форме стрельчатой аркиТеперь обратимся к самому чертежу. Стрельчатая арка образуется пересечением двух частей окружностей . На рис. показана стрельчатая арка, в которую вписана окружность и две равные полуокружности. Измерив ширину арки, мы сможем найти не только радиус большой окружности, но и длину отрезка ОD, который входит в центральную часть фасада. Обозначим радиус большой окружности через х. Тогда OO2=х+5; DO2 = 5; OB=20 - x; DB=10. Дважды воспользовавшись теоремой Пифагора для треугольников ОDО2 и ОDВ, составим уравнение 2 - 52= 2 –102. Откуда х = 6 и ОО2 = 6+5 = 11 м. А длина общего катета ОD этих треугольников равна: .И мы вновь пришли к иррациональному результату. Прекрасно сохранилась мечеть Ибн -Тулуна в Каире : здесь впервые появились удивительно пропорциональные высокие стрельчатые арки, ставшие "визитной карточкой" исламской архитектуры. В Мечети Хасана арки образуют с каждой стороны вход в громадный зал.

Образец зодчества ранней эпохи -мавзолей Араб-ата в Самаркандской области. Внешнюю композицию мавзолея определяет кубовидный объем и стрельчатый купол.

Несмотря на то, что стрельчатые арки очень распространены в постройках востока, самым зрелищным их применением является готичекий храм. Высокие стрельчатые арки, ребристые своды и каркасная система позволяли перекрывать огромные пространства, бесконечно увеличивать высоту кафедральных соборов, собирать в них множество людей.

Готика зародилась в Северной Франции в середине 12 в. и достигла расцвета в 1-й половине 13 в. Смелая и сложная каркасная конструкция готического собора, воплотившая торжество дерзновенной инженерной мысли человека, позволила преодолеть массивность романских построек, облегчить стены и своды, создать динамичное единство внутреннего пространства. Конструктивная основа собора — каркас из столбов и опирающихся на них стрельчатых арок. Впечатление неудержимого движения ввысь и к алтарю создаётся рядами стройных столбов, мощным взлётом остроконечных стрельчатых арок, убыстрённым ритмом аркад верхней галереи. На фасадах варьируются стрельчатые арки и богатые архитектурно-пластические и декоративные детали.

Архитектура готики - символ бесконечности. Художественный образ готического собора, вопреки обыденным представлениям, воплощается за счет математического расчета и конструкции. Он выражает мистическую тягу души к неведомому, загадочному...

Подковообразные арки и купола

Невозможно описать все многообразие геометрических приемов, которыми владели среднеазиатские зодчие. Рассмотрение лишь некоторых способов применения математики для создания гармоничных архитектурных зависимостей заставляет удивляться и восхищаться мастерством и талантом древних зодчих. Они открывают новые формы арок, среди которых особый интерес представляет подковообразная.

Рассмотрим следующую задачу. Проведем два взаимно перпендикулярных диаметра данной окружности . Построим биссектрисы четырех полученных прямых углов. На глаз, от руки изобразим искомые окружности. Четырехугольник АВСD — квадрат. Проведенные диаметры являются общими касательными пар искомых окружностей. Пусть М — точка касания искомых окружностей. ∆AMO прямоугольный и равнобедренный. АМ=ОМ=r, где r — радиус искомых окружностей. Тогда . Получаем уравнение , откуда . Мы получили иррациональный результат. Если взять половину окружности и объединить дугой две малые окружности получится подковообразная арка. На основе данной задачи строится данный чертеж .

Для построения такой арки соединяют верхние концы проема - точки А и В. Далее делят полученный отрезок точками О1, О2, О3 на четыре равные части.

Из точек О1 и О3 как из центров проводят окружности радиусом О1А. Их общая касательная МN перпендикулярна отрезку АВ.

От луча О3В откладывают угол ВО3С, равный 60°, и продолжают прямую О3С до пересечения с прямой МN в точке О4.

Из точек О1 и О3 проводят две малые окружности радиусом О1А, а из точки О4 - большую окружность радиусом О4В, которая пересекает малые окружности в точках D и D'.

Линия ADD'B составляет подковообразную арку, которая завершает проем.

Нетрудно догадаться, что и в этой арке скрыта иррациональность. Действительно, если принять радиус О1А малой окружности за 1, то длины дуг АD' и ВD равны .

Треугольник О1О3О4 - равносторонний, в котором сторона равна 2. Тогда радиус О4D большей окружности равен 3, поэтому длина дуги DD' равна . Длина всей линии ADD'B выражается иррациональным числом .

Наиболее яркими примерами применения подковообразных арок и куполов являются культовые сооружения в Бухаре и Самарканде. Арки различных видов – подковообразные, «сломанные», с использованием колонн и «сталактитов» в качестве капители – излюбленный прием декорирования культовых зданий ислама. Арки используются для оформления сводов между колоннами молитвенного зала, для декорирования окон.