Кто придумал логарифмы

Первая идея о логарифмическом вычислении возникла из сопоставления членов геометрической прогрессии с членами арифметической. Такое сопоставление ярко выражено у Архимеда:

«Если будет ряд непрерывно пропорциональных чисел, начиная с единицы, и если два члена этого ряда перемножить, то произведение будет членом того же ряда, настолько удаленным от большего множителя, насколько меньший удалён от единицы. Он будет удалён от единицы одним членом меньше в сравнении с тем, насколько удалены от неё оба множителя».

У древнегреческого ученого Диофанта в зачаточной форме есть действия над степенями одного и того же основания.

Идея Архимеда встречается почти во всех значительных сочинениях по математике. Так, французский математик Н. Шюке в своём трактате «Наука о числе» даёт одно из основных правил логарифмического исчисления. Он берёт последовательность степеней числа 2 с их показателями и указывает, что произведение двух чисел первой последовательности выражается числом той же последовательности, соответствующее сумме показателей перемножаемых чисел. Шюке сопоставляет прогрессии:

Идея продолжения прогрессии влево то начала, первое указание на подобную возможность внутри прогрессии, т. е. между каждым рядом стоящими членами.

Как видим, первая последовательность является арифметической прогрессией, а вторая – геометрической. При этом Штифель пишет: «Сложение в арифметическом ряде соответствует умножению в геометрической, равным образом вычитание в первом - делению во втором; простому умножению в арифметическом ряде соответствует возведение в степень в геометрическом, а деление в первом – извлечение корня во втором ». Т. е. при помощи этих последовательностей можно высшие действия заменить низшими. Так, если нужно вычислить * 32 , то складывают стоящие над ними числа арифметической прогрессии:

Штифель не смог сделать логарифмы пригодными для практических вычислений, так как не был знаком с десятичными дробями, с помощью которых можно было бы ввести очень медленно растущую геометрическую прогрессию. За эту грандиозную работу – вычисление таблицы логарифмов – взялся швейцарский математик Бюрги.

И уже в середине 17 века были разработаны основы учения о логарифмах.

Первый этап развития логарифмов

Таблицы Непера логарифмически – тригонометрические. Это объясняется большой необходимости в сокращении тригонометрических вычислений. Радиус круга или «полный синус» тогда принимался равным 10 000 000, и в долях радиуса выражались все тригонометрические линии в виде целых чисел. Логарифмы даются у Непера как целые числа, содержащие до 8 знаков, это объясняется тем, что десятичные дроби ещё не вошли во всеобщее употребление.

Непер связал непрерывную последовательность чисел и их логарифмов с расстояниями, пройденными двумя точками, движущихся по определенным законам.

Представим себе две точки, которые двигаются одновременно. Одна из них движется от Т к R, а другая от Р вдоль РS.

Допустим, что скорость их движения в точках Т и Р одинакова. Пусть движение точки по второй прямой будет равномерное, по первой же прямой точка движется пропорционально - замедленно так, что, когда она проходит в положение М, скорость её пропорциональна непройденному расстоянию М R.

Если первая точка проходит расстояние ТМ за то время, за которое вторая проходит расстояние PN, то это последнее расстояние Непер называет логарифмом М R

Предположим, что начальная скорость точки υ=TR (коэффициент пропорциональности равен единице) очень большая. Тогда в течения промежутка времени 1/υ точка по второй прямой будет проходить расстояние, равное =1.

Точка, двигающаяся по первой прямой с начальной скоростью υ, пройдет в конце первого промежутка расстояние, очень близкое к единице, и придет в положение М со скоростью М R , где М R= υ-1= υ(1-1/ υ ).

В течение второго промежутка, тоже равного 1/ υ, скорость точки, движущейся по первой прямой, будет приблизительно равна υ-1, пройденное расстояние а расстояние .

Аналогично предыдущему найдем, что расстояния точки от R в конце третьего промежутка будет , в конце четвертого промежутка - , а в конце υ-го промежутка - .

Выпишем расстояния точки, движущейся по первой прямой от R, и расстояния точки, движущейся по второй прямой от Р, в конце каждого промежутка времени. Получим две последовательности:

Последовательность представляет собой геометрическую прогрессию, а последовательность – арифметическую. Члены последовательности , по Неперу, являются логарифмами соответствующих членов последовательности .

Как видим, здесь открытие Непера соприкасаются с идеями Архимеда, Штифеля и др. но у Непера есть и новое, а именно функциональная зависимость величин, распространенная на непрерывно изменяющиеся значения аргумента. Число υ Непер взял равным 107. Нуль у него – логарифм числа υ, отрезок линии Т R – синус 900 (радиус) n=107. Таким образом, по принятой системе логарифм полного синуса равнялся 0 и этим самым упрощались логарифмические вычисления, т.к. в тригонометрии приходилось очень часто умножать и делить на полный синус. Непер вычислял логарифмы Синусов, а не логарифмы последовательных чисел.

Если первая точка до момента прохождения через Т занимает положение М/, то длина RМ/ будет больше полного синуса, а вторая точка будет находиться в N/. В этом случае Непер принимал за логарифм RМ/ отрицательное число, абсолютная величина которого определяется длиной отрезка РN/ .

Из сказанного видно, что логарифм Непера отличаются от натуральных логарифмов, где за основание берется число е, хотя в некоторых руководствах по алгебре и анализу часто утверждается, что натуральные логарифмы были изобретены Непером.

Второй этап развития логарифмов

Дальнейшее развитие теории логарифмов связано с более широким применением аналитической геометрии исчисления бесконечно малых. К этому периоду относится установление связи между квадратурой равносторонней гиперболы и натуральным логарифмом.

При более детальном рассмотрении числовых последовательностей Непера и Бюрги можно перейти к графическому изображению этих последовательностей в виде лестницы, вписанной в показательную кривую, а их логарифмов – в виде суммы площадей прямоугольников, ограниченных равносторонней гиперболой.

Теория логарифмов этого периода связана с именами ряда математиков.

Изучая квадратуры, Сент – Винцент в 1647 году нашел замечательное свойство равносторонней гиперболы, позволившее связать площадь, заключенную между кривой и её асимптотами, с натуральными логарифмами. На основании этого свойства натуральные логарифмы стали называться гиперболическими.

В 1677 году был разработан новый более удобный способ вычисления логарифмов членом лондонского королевского общества Николаусом Меркатором. Он использовал методы квадрирования площадей, ограниченных кривой вида y=xn , абсциссой и двумя ординатами. Вычислять значения функции ln(1+x) возможно с помощью степенного ряда.

Идеями Меркатора воспользовался Исаак Ньютон, обогатив их двумя открытиями: ввёл обобщенную теорему Бинома и метод обращения рядов.

Брук Тейлор, английский математик, в своём сочинении «метод приращений» в 1715 году дал общий принцип для разложения функций в степенные ряды. Ему же принадлежит новый метод вычисления логарифмов , основанный на непрерывных дробях.

Сочинение Леонарда Эйлера «Введение в анализ бесконечно малых» послужило дальнейшему развитию показательной и логарифмической функций. Он же даёт более полное и систематическое изложение теории, чем было до него, и использует созданный им так называемый алгебраический анализ.

Эйлер впервые изложил учение о логарифмах, исходя из определения логарифма как результат одного из двух действий, обратных действию возведения в степень.

Менее чем за одно столетие таблицы логарифмов распространялись по всему миру и сделались незаменимым вспомогательным вычислительным средством. В 1650 году их завезли в Китай. В России таблицы логарифмов вошли в употребление с начала 18 века, когда стало развертываться сеть специальных учебных заведений для подготовки военно-морских и инженерных специалистов.

Раньше других, в 1701-1702 годах, начала действовать школа математических и навигационных наук. Она размещалась в Москве, в ныне не существующей в Сухаревой башне, находящейся на месте нынешней Колхозной площадке. В школе преподавали арифметику, геометрию, тригонометрию, вычисления с применением таблиц логарифмов и счётной логарифмической линейки.

Через год преподаватели школы Л.Ф. Магницкий и А. Фархварсон издали «таблицы логарифмов и синуса, тангенсов и секансов». Это были несколько переустроенные таблицы А. Влакка, содержащие семизначные десятичные логарифмы натуральных чисел до 10 000, а затем – значения указанных в заголовке тригонометрических функций и их логарифмов и синусов.

В заключении отметим, что в начале 19 века уже сложились точные понятия о сходимости бесконечных рядов и других бесконечных процессов.