Геометрия измерительных инструментов

Геометрия – одна из самых древних наук, она возникла очень давно, ещё до нашей эры. В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие» («гео» - по-гречески земля, а «метрео» - мерит). Такое название объясняется тем, что зарождение геометрии было связано с различными измерительными работами, которые приходилось выполнять при разметке земельных участков, проведении дорог, строительстве зданий и других сооружений. В результате этой деятельности появились и постепенно накапливались различные правила, связанные с геометрическими измерениями и построениям. Таким образом, геометрия возникла на основе практической деятельности людей и в начале своего развития служила преимущественно практическим целям. В дальнейшем геометрия сформировалась как самостоятельная наука.

Многие изучаемые в школе теоремы и приемы геометрии положены в основу конструкции или способов использования различных измерительных приборов. Демонстрация таких приборов и выяснение их геометрической сути – впечатляющие примеры полезности математических знаний. Некоторые приборы и инструменты описаны в школьных учебниках. Например, у Л.С. Атанасяна упоминаются экер, рейсшина, малка, уголковый отражатель, рейсмус и др. Такие приборы можно подобрать для применения как содержательных геометрических теорем, так и самых первоначальных сведений из геометрии. При этом необязательно демонстрировать приборы фабричного изготовления. Достаточно показать бесхитростные модели – на них лучше видна геометрическая суть – или даже ограничиться рисунками.

Практически все измерительные инструменты используют прием косвенных измерений, когда интересующую величину измерить невозможно или затруднительно. Измеряют доступные величины, через которые искомые выражаются по каким-то формулам. Некоторые примеры таких измерений – высота предмета, недоступные расстояния – рассматриваются во всех школьных учебниках геометрии.

Величина угла на местности часто определяется линейными промерами. На сторонах угла откладывают отрезки АВ = АС = 10 м и измеряют ВС. Какова величина угла, если ВС = а м?

Решение. Если А = α , то В =С = . По теореме синусов и формуле синуса двойного угла: . Искомый угол теперь можно найти по таблицам значений синуса или с помощью микрокалькулятора.

Шаблоны

На рисунке 2а изображен разрез цилиндрической детали. Как с помощью кронциркуля и линейки определить внутренний диаметр цилиндра?

Решение Кронциркуль с произвольным раствором h устанавливаем так, по линейке считываем величину b . Теперь имеем:

d = D – 2 (h – b).

Определение угла конического углубления на практике обычно производится с помощью двух шаров радиусов r и R . Чему равен угол , если расстояние между шарами равно l?

Решение. Рассмотрим осевое сечение конуса АОВ. Центры шаров S и P лежат на биссектрисе угла AOB. Проведём прямую ST, параллельную АО. Тогда TP AO, а треугольник PTS ( прямоугольный.