Геометрические неожиданности

При изучении геометрии, часто приходиться доказывать утверждения, которые нам совершенно очевидны. Например, что при пересечении двух параллельных прямых третей прямой накрест лежащие углы равны. В то же время, утверждение, что высоты треугольника пересекаются в одной точке, уже не столь очевидно. Более того, древние греки – великие геометры—не знали этого факта, хотя знали и умели доказывать, что биссектрисы, как и медианы пересекаются в одной точке.

Неожиданность математического факта предают ему некое очарование, создавая то, что называется красотой математики, наряду с неожиданными и притом короткими путями доказательств теорем. Исаак Ньютон говорил, что ощущает себя ребёнком, собирающим на берегу красивые камешки, в то время как перед ним лежит целый океан непознанного.

Ниже приведены геометрические результаты, которые носят оттенок неожиданности при первом знакомстве с ним.

Сначала возьмём две окружности и проведём из центра каждой из них касательные к другой окружности . Соединим теперь точки пересечения касательных с окружностями. Полученный четырёхугольник оказывается прямоугольником. Факт действительно неожиданный. Неизвестно, кто первым обнаружил его. Я провёл опыт и понял, что это достаточно легко доказать. Пусть будет дано две окружности О и О1 Проведём из центра каждой из них касательные p1, p2, p3, p4, нужно доказать что точки пересечения касательных с окружностью образуют прямоугольник ABCD.

Доказательство. Выполним дополнительное построение OO1 – отрезок, получим два треугольника OLO1 и OL1O1 Они равны по второму признаку равенства треугольников (1=2, 3=4(по свойств у касательных), OO1 – общая сторона). Так как в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, значит OL=LO1, LO = L1O1. Рассмотрим треугольники BLC и AL1D он равны по первому признаку равенства треугольников (L = L1 (5 +6 = 7 + 8) BL = AL1 (OL =OB + BL; OL1 = AO + AL1 значит OL= OL1; BL = OL- OB, а AL1 = OL1 – OA) (*). LC = L1D(аналогично равенство ). Значит ВС = АD. Теперь рассмотрим треугольники OBA и L1OL они подобны по углу и двум сторонам(О – общий L1O:AO=LO:OB( OA=OB как радиусы; L1O=LO т.к. треугольник L1OL равнобедренный), значит 9 и 7 равны, а они соответственные => AB//L1L. Аналогично доказывается параллельность прямых СD и L1L; т.к. если две прямые параллельны к третей, то они тоже параллельны, значит AB//CD. Углы DAB и ABC равны(9 и 11 16 и 12 равны соответственно), аналогично BCD и CDA равны. Сумма ABC и BCD равна 1800, а значит сумма любых двух углов в четырёхугольнике равна 1800, т.к. сумма углов в четырехугольнике равна 3600 , получили, что все углы в данном четырёхугольнике ABCD равны, и каждый из них равен 900.

Автором второй геометрической неожиданностью является всем известный Архимед. Исследуя луночки, образованные окружностями, он заметил, что две окружности, вписанные в криволинейный треугольник равны. Фигура, которая получает из полукруга удалением ещё двух полукругов, напоминает средневековую секиру, а Архимед считал, что эта фигура напоминает нож, который назывался « арбелос». Поэтому эта теорема вошла в историю, как «теорема об арбелосе».

На стенах японских пагод изображено множество подобных фактов открытых японскими математикам, так в 1800 году на стенах одного из храмов появилась дощечка, сообщавшая о следующем факте.

Разобьём многоугольник, вписанный в окружность, на треугольники, проводя из какой-нибудь его вершины все диагонали . Впишем в каждый из получившихся треугольников окружность. Сумма радиусов этих окружностей – величина постоянная, не зависящая от выбора вершины многоугольника. В дальнейшем удалось доказать и более сильное утверждение: та же сумма получается для любого способа разбиения вписанного многоугольника на треугольники.

Следующие факты касаются четырёхугольников вписанных в окружность и описанных вокруг нее. Однако мало кто знает об интересных свойствах таких четырехугольников. Открытие одного из них принадлежит Клавдию Птолемею, жившему во 2 веке. Птолемей обнаружил, что сумма произведений длин противоположных сторон вписанного четырехугольника равна произведению длин его диагоналей.

Для того, чтобы около четырёхугольника описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений его противоположных сторон равнялось произведению диагоналей.

Это теорема называется «теорема Птолемея», оказалась очень полезной ему самому при астрономических расчетах.

Интересный результат об описанном четырехугольнике принадлежит Исааку Ньютону. Он обратил внимание на то, что центр окружности, вписанный в четырехугольник, лежит на прямой, соединяющий серединой диагонали. Формулировка: что во всяком описанном четырехугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности расположены на одной прямой.

Закончим эту коллекцию геометрических неожиданностей, изящной миниатюрой, принадлежащей московскому математику В.В. Произволову. Рассмотрим две параллельные прямые. Построим квадрат со стороной, равной расстоянию между прямыми. Если соединить « накрест» точки пересечения границ квадрата с прямыми, то образованный угол равен 450. Формулировка: Если построить на параллельных прямых, квадрат со стороной равный расстоянию между параллельными прямыми и соединим точки пересечения квадрата с прямыми накрест, то получим, что образованный угол равен 450.