Признаки делимости чисел

Основные признаки делимости

Признак делимости на 2. Для того чтобы натуральное число делилось на 2,необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра делилась на 2.

Примеры: 172; 94; 67838; 1670.

Признак делимости на 5. На 5 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 5 или 0.

Например: 125; 10; 720.

Признак делимости на 10. На 10 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 0.

Например: 30; 980; 1200.

Признак делимости на 3. На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3. Пример: 393, т. к. 3+9=12; 12:3=4.

Признак делимости на 9. На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9. Пример: 1179 1+1+7+9=18; 18:9=2.

Дополнительные признаки делимости

Признак делимости на 4. На 4 делятся натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4. Например: 35712424:4=6.

Признак делимости на 6. На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно, то есть все четные числа, которые делятся на 3.

Пример: 126 - четное число,1+2+6=9; 9:3=3, значит 126

Признак делимости на 25. На 25 делятся те натуральные числа, две последние цифры которых нули или составляют число, кратное 25.

Например: 2300 25, так как две последние цифры нули; 65025 так как 50:25=2.

Признак делимости на 11. На 11 делятся только те натуральные числа, у которых сумма цифр, занимающих четные места, равна сумме цифр, занимающих нечетные места, или разность суммы цифр нечетных мест и суммы цифр четных мест кратна 11.

Например: 105787 11, так как 1+5+8=14 и 0+7+7=14.

Признак делимости на 7.Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7. Например, 364 делится на 7, так как 36 -- 2 4 = 28 делится на 7.

Признак делимости на 13.Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13. Например, 845 13, так как 84 + + = 104 13.

Свойства делимости чисел

Свойство 1. Если а с и с b, то а b.

Пример: 48 6 и 6 3, следовательно 48 3.

Свойство 2. Если а b и с b, то b.

Пример: 12 3 и 21 3 ,можно сделать вывод ,что 3.

Свойство 3. Если а с и с не делится на b ,то не делится на b.

Пример: 2 3 и 22 не делится на 3, значит, что не делится на 3. Но в то же время из того, что каждое слагаемое не делится на b, нельзя сделать вывод, что и сумма не делится на b.

Пример: 14 и 22 не делятся на 3, но 3.

Свойство 4. Если а b и b ,то с b.

Пример: 12 3 и 3,следовательно, 21 3.

Свойство 5. Если а b1 и с b2, то ас b1b2.

Пример: 12 3 и 28 7, значит, .

Свойство 6. Если а b и с - любое натуральное число ,то ас bс; обратно, из ас bс следует а с.

Пример: Из 12 3 можно сделать вывод, что и обратно.

Свойство 7. Если а b и с-любое натуральное число, то ас b.

Пример: 12 3,из этого следует ,что 3.

Свойство 8. Если а с и с b ,то для любых натуральных чисел n и k справедливо соотношение b.

Пример: 12 3 и 21 3, значит, 3.

Свойство 9. Среди n последовательных натуральных чисел одно, и только одно делится на n.

Пример: Возьмём любые три подряд идущих натуральных числа, например,106,107,108. Только одно число из тройки делится на 3. Для этой тройки это число 108.

Если мы возьмем любые 10 подряд идущих натуральные числа, то одно обязательно делится на 10 и т. д.