Об истории числа
Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами.
Существует большое количество определений понятию «число». Первое научное определение числа дал Эвклид в своих «Началах», которое он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского (около 408 – около 355 гг. до н. э.): «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.). Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц». Со слов греческого философа Ямвлиха, еще Фалес Милетский – родоначальник греческой стихийно-материалистической философии – учил, что «число есть система единиц». Это определение было известно и Пифагору. Пифагор и его последователи далеко продвинули эту блестящую идею и доказали, что «все вещи — есть числа». Но за предложенными Пифагором основаниями гармонии лежала темная магия, которая уходила своими корнями в глубины истории человечества.
Евклид, Аристотель, Фалес, Милетский, Пифагор
Пифагор и его последователи своими работами заложили основу очень важной области математики - теории чисел. Все числа пифагорейцы разделяли на две категории - четные и нечетные, что характерно и для некоторых других древних цивилизаций. Позднее выяснилось, что пифагорейские "четное - нечетное", "правое - левое" имеют глубокие и интересные следствия в кристаллах кварца, в структуре вирусов и ДНК, в знаменитых опытах Пастера с поляризацией винной кислоты, в нарушении четности элементарных частиц и других теориях. Не чужда была пифагорейцам и геометрическая интерпретация чисел. Они считали, что точка имеет одно измерение, линия - два, плоскость - три, объем - четыре измерения. Десятка может быть выражена суммой первых четырех чисел (1+2+3+4=10), где единица - выражение точки, двойка - линии и одномерного образа, тройка - плоскости и двумерного образа, четверка - пирамиды, то есть трехмерного образа. Ну чем не четырехмерная Вселенная Эйнштейна? При суммировании всех плоских геометрических фигур - точки, линии и плоскости - пифагорейцы получали совершенную, божественную шестерку. Справедливость и равенство пифагорейцы видели в квадрате числа. Символом постоянства у них было число девять, поскольку все кратные девяти числа имеют сумму цифр опять-таки девять. Число восемь у пифагорейцев символизировало смерть, так как кратные восьми имеют уменьшающуюся сумму цифр. Пифагорейцы считали четные числа женскими, а нечетные мужскими. Нечетное число - оплодотворяющее и, если его сочетать с четным, оно возобладает; кроме того, если разлагать четное и нечетное надвое, то четное, как женщина, оставляет в промежутке пустое место, между двумя частями. Поэтому и считают, что одно число свойственно женщине, а другое мужчине. Символ брака у пифагорейцев состоял из суммы мужского, нечетного числа три и женского, четного числа два. Брак - это пятерка, равная трем плюс два. По той же причине прямоугольный треугольник со сторонами три, четыре, пять был назван ими "фигура невесты". Четыре числа, составляющие тетраду - один, два, три, четыре - имеют прямое отношение к музыке: они задают все известные консонантные интервалы - октаву (1:2), квинту (2:3) и кварту (3:4). Иными словами, декада воплощает не только геометрически-пространственную, но и музыкально-гармоническую полноту космоса. Среди свойств десятки отметим еще и то, что в нее входит равное количество простых и составных чисел, а также столько же четных, сколько и нечетных. Сумма чисел, входящих в тетраду, равна десяти, именно поэтому десятка считалась у пифагорейцев идеальным числом и символизировала Вселенную. Поскольку число десять - идеальное, рассуждали они, на небе должно быть ровно десять планет. Надо заметить, что тогда были известны лишь Солнце, Земля и пять планет. Знаменитая тетрада, состоящая из четырех чисел, повлияла через пифагорейцев на Платона, который придавал особое значение четырем материальным элементам: земле, воздуху, огню и воде.
Магические числа
В древности и в Китае и на Западе практически все люди верили в то, что определенные числа имеют мистическое или оккультное значение. Так, на Западе счастливыми числами считались 3 и 7, так как 3 ассоциировалось со Святой Троицей, а 7 - с Семикнижием (первыми семью книгами Ветхого Завета). Семерку почитали еще за много столетий до нашей эры, в Средние века, почитают и теперь. Если обратиться к повседневной жизни, то и здесь можно встретить преобладание числа семь: 7 цветов ра-Дуги, 7 нот, 7 дней в неделе, 7 самураев, 7 чудес света и многое другое. С числом 7 связано множество загадок, притчей, пословиц, поговорок:
Волшебное число 7 широко использовалось в сказках, мифах Древнего мира. У Атланта, подпиравшего плечами небесный свод, было семь дочерей-плеяд, которых Зевс превратил потом в созвездие. Одиссей семь лет был в плену у нимфы Калипсо. У вавилонян подземное царство окружено семью стенами. У мусульман небесный свод состоит из семи небес, и все угодные богу попадают на седьмое небо блаженства. У индусов есть обычай дарить на счастье семь слоников. Великий пост у христиан длится семь недель. В Библии повествуется о семи светильниках, семи ангелах, семи годах изобилия и семи — голода. В Древнем Вавилоне были известны семь планет, к которым причисляли тогда и Солнце и Луну. Все непонятные явления природы приписывали богам, и постепенно представление о богах соединилось и с семью планетами. По ним стали считать и время. Так родилась семидневная неделя. Названия дней связаны с именами богов. Во многих языках эти названия остались до сих пор: понедельник, например, у французов - «lundi» (день Луны), вторник — «марди» (день Марса); воскресенье у немцев — «sonntag» (день Солнца). Семь стало священным числом, его считают магическим. Возможно это объяснялось еще и тем, что человек воспринимает окружающий мир (свет, звуки, запахи, вкус) через семь отверстий в голове (2 глаза, 2 уха, 2 ноздри, рот). Рим и Киев были построены на семи холмах. Согласно индийским преданиям, Будда сидел под фиговым деревом с семью плодами. «Семиричность» мира проявлялась, как думали, и в семи возрастах человеческой жизни. Семь лет — младенчество, 14 лет - отрочество, двадцать один год - юношество, двадцать восемь лет — молодость, тридцать пять лет — зрелость и т д. Число 7 символизирует тайну, объединяет целостность 1 с идеальностью 6 и образует собственную симметрию, делающую его магическим числом, Семь — число таинственное, его сфера деятельности находится вне человеческого понимания. Семеро — это самое необычное сборище людей. Трудно иногда понять, что их связывает, что разъединяет. От семи человек вообще не понятно, чего ожидать.
В христианском числовом символизме 8 является числом жизни после смерти. 8 символизирует жизнь после смерти из-за того, что стоит после 7. 7— число жизни в этом мире (поскольку оно управляет основными ритмами земной жизни — рождением, изменением, смертью), а 8, следуя за 7, означает жизнь грядущего мира. В результате 8 является числом вечности и бесконечности, и математический символ бесконечности изображается, как восьмерка, которую «положили на бок». Число 13, напротив, считалось несчастливым. В царской России, учитывая неизбежный суеверный страх у солдат, не формировали тринадцатый полк (хотя ужас охватывал и некоторых солдат четырнадцатого полка, когда они обнаруживали, что их полк на самом деле тринадцатый). Вообще, тринадцать — это «чертова дюжина»; во времена Рима — символ несчастья; несчастливое число у народов Севера; в картах Таро — самая зловещая карта. И в современном мире люди избегают этого числа: почти во всех европейских странах мест, вагонов № 13 нет. А в Китае предпочтение отдавалось четным числам, потому что они, будучи делимы на 2, могли образовывать пары.
Простые числа
Люди давно заметили, что числа бывают двух разных сортов. Например, число 12 можно без остатка разделить на 2, 3, 4 и 6. А следующее за ним число 13 делится без остатка только само на себя: 13/13 = 1. Кроме того, каждое число делится на 1.
Такие числа, как 12 или 15, которые можно разделить на какое-нибудь другое, меньшее число, называются составными. Те, которые делятся только сами на себя, например 7,11, 13, называются простыми.
Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, т.е. простые числа — это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.
Вы, наверное, обратили внимание, что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно — в одних частях ряда их больше, в других — меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос: существует ли последнее (самое большое) простое число? Древнегреческий математик Евклид (III в. до н. э.) в своей книге «Начала», бывшей на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т. е. за каждым простым числом есть еще большее простое число.
Для отыскания простых чисел другой греческий математик того же времени — Эратосфён придумал такой способ. Он записывал все числа от 1 до какого-то числа, а потом вычеркивал единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычеркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные 2, т. е. 4, 6, 8 и т. д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычеркивались через два все числа, идущие после 3 (числа, кратные 3, т. е. 6, 9, 12 и т.д.). В конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа.
Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на натянутом папирусе, а числа не вычеркивали, а выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена называют решетом Эратосфена: в этом решете «отсеиваются» простые числа от составных.
Итак, простыми числами от 2 до 60 являются 17 чисел-2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59.
Таким способом и в настоящее время составляют таблицы простых чисел, но уже с помощью вычислительных машин.
Пифагоровы тройки чисел
Среди бесконечного количества возможных прямоугольных треугольников особый интерес всегда вызывали так называемые «пифагоровы треугольники», стороны которых являются целыми числами. Несомненно, «пифагоровы треугольники» относятся к разряду «сокровищ геометрии», а поиски таких треугольников представляют одну из интереснейших страниц в истории математики. Наиболее широко известным из них является прямоугольный треугольник со сторонами 3,4 и 5. Он назывался также «священным» или «египетским», так как широко использовался в египетской культуре.
Для «египетского» треугольника теорема Пифагора принимает следующий числовой вид: 42 + З2 = 52. После того как была открыта теорема Пифагора, возник вопрос, как отыскать все тройки натуральных чисел, которые могут быть сторонами прямоугольного треугольника. Какие-то общие методы отыскания таких троек чисел, например упомянутых выше (3, 4, 5) или (5,12, 13), были известны еще вавилонянам. Одна из клинописных табличек содержит 15 троек. Среди них есть тройки, состоящие из настолько больших чисел, что не может быть и речи о нахождении их путем подбора. Такие тройки чисел называются Пифагоровыми.
Совершенные и дружественные числа
Пифагор (VI в. до н. э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), они называли совершенным числом. Например, числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 - 1 + 2 + 4 + 7 + 14) совершенные. Следующие совершенные числа 496, 8128, 33550336. Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвертое — 8128 — стало известно в I в. н. э. Пятое — 33550336 — было найдено в XV в. К 1983 г. было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор ученые те знают, есть ли нечетные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.
Дружественные числа - пара чисел, обладающих таким свойством: сумма собственных делителей первого из них равна второму числу, а сумма собственных делителей второго числа равна первому числу. Например, сумма делителей числа 220 равна 1 + 2 + 4 + 5+10 + 11 + 20 + 22 + + 44 + 55 + 110 = 284, а сумма делителей числа 284 равна 1 + 2 + 4 + 71 + 142=220, поэтому числа 220 и 284 — дружественная пара.
Вторая дружественная пара (1184 и 1210) была найдена в 1867 году шестнадцатилетним итальянцем Б. Паганини.
Комментарии