Арифметическая и геометрическая последовательности

В настоящее время числовые последовательности рассматриваются как частные случаи функции. Числовая последовательность есть функция натурального аргумента. (Так, например, арифметическая прогрессия является линейной функцией натурального аргумента, а геометрическая прогрессия — доказательной функцией натурального аргумента. Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания- учения о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в древности:

• 1, 2, 3, 4, 5, ... – последовательность натуральных чисел;
• 2, 4, 6, 8, 10, ... – последовательность четных чисел;
• 1, 3, 5, 7, 9, ... – последовательность нечетных чисел;
• 1, 4, 9, 16, 25, ... – последовательность квадратов натуральных чисел;
• 2, 3, 5, 7, 11, ... – последовательность простых чисел;
• 1, .... … - последовательность чисел, обратных натуральным.

Число членов каждого из этих рядов бесконечно; первые пять последовательностей — монотонно возрастающие, последняя — монотонно убывающая. Все перечисленные последовательности, кроме 5-й, являются заданными ввиду того, что для каждой из них известен общий член, т. е. правило получения члена с любым номером. Для последовательности простых чисел общий член неизвестен, однако еще в III в. до н. э. александрийский ученый Эратосфен указал способ (правда, очень громоздкий) получения п-го ее члена. Этот способ был назван «решетом Эратосфена».

Идея предела последовательности восходит к V—IV вв. до н. э. Прогрессии — частные виды числовых последовательностей — встречаются в памятниках II тысячелетия до н. э.

Слово «прогрессия» латинского происхождения (progressio), буквально означает «движение вперед» (как и слово «прогресс») и встречается впервые у римского автора Боэция (V—VI вв.). Первоначально под прогрессией понимали всякую числовую последовательность, построенную по закону, позволяющему неограниченно продолжать ее в одном направлении, например последовательности натуральных чисел, их квадратов и кубов. В конце средних веков и в начале нового времени этот термин перестает быть общеупотребительным. В XVII в., например, Дж. Грегори употребляет вместо прогрессии термин «ряд», а другой видный английский математик, Дж. Валлис, применяет для бесконечных рядов термин «бесконечные прогрессии».

Геометрическая прогрессия

Определение. Последовательность чисел, каждый член которой, кроме первого, получается из предыдущего умножением на одно и то же число q, называется геометрической прогрессией. Число q называется знаменателем прогрессии.

Члены геометрической прогрессии находятся по формуле:

аn=a1/qn-1 ,

Пример. Пусть банк ежемесячно начисляет p % на каждую сумму, находящуюся на счёте не менее месяца. Определим начисления на сумму S в течение нескольких месяцев. По истечении первого месяца на счёте будет сумма s1=S(1+0,01p). По истечении второго месяца будет сумма s2=S(1+0,01p)2. По истечении третьего имеем сумму s3 =S(1+0,01p)3 и т.д. Таким образом, размеры денежных сумм в конце каждого месяца составляют геометрическую прогрессию. Поэтому в конце месяца с номером n начисления вместе с вкладом составят sn= S(1+0,01p)n денежных единиц.