Учеба  ->  Высшее образование  | Автор: Т.В. Лымарь | Добавлено: 2015-02-25

Алгебра высказываний и ее основные операции

Логика — наука,  изучающая законы и формы мышления; учение о способах рассуждений и доказательств.

Законы мира, сущность предметов, общее в них мы познаем посредством абстрактного мышления. Основными формами абстрактного мышления являются  понятия, суждения и умозаключения.

Понятие — форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов. Понятия в языке выражаются словами.

Содержание понятия — совокупность существенных признаков, отраженных в этом понятии.

Объем понятия — множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки, составляющие содержание понятия. Выделяют понятия общие и единичные.

Выделяют следующие отношения понятий по объему:

  • тождество или совпадение объемов, означающее, что объем одного понятия равен объему другого понятия;
  • подчинение или включение объемов: объем одного из понятий полностью включен в объем другого;
  • исключение объемов — случай, в котором нет ни одного признака, который бы находился в двух объемах;
  • пересечение или частичное совпадение объемов;
  • соподчинение объемов — случай, когда объемы двух понятий, исключающие друг друга, входят в объем третьего.

Суждение — это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, признаках или их отношениях.

Умозаключение — форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем суждение-заключение.

Алгебра в широком смысле этого слова  наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться не только над числами, но и над другими математическими объектами.

Примеры алгебр: алгебра натуральных чисел, алгебра рациональных чисел, алгебра многочленов, алгебра векторов, алгебра матриц, алгебра множеств и т.д. Объектами алгебры логики или булевой алгебры являются высказывания.

Высказывание — это любое предложение какого-либо языка (утверждение), содержание которого можно определить как истинное или ложное.

Всякое высказывание или истинно, или ложно; быть одновременно и тем и другим оно не может. В естественном языке высказывания  выражаются  повествовательными предложениями. Восклицательные и вопросительные предложения высказываниями не являются.

Высказывания могут выражаться с помощью математических,  физических, химических и прочих знаков. Из двух числовых выражений можно составить высказывания, соединив их знаками равенства или неравенства.

Высказывание называется простым (элементарным), если никакая его часть сама не является высказыванием. Высказывание, состоящее из простых высказываний, называются составным (сложным).

Простые высказывания  в алгебре логики обозначаются  заглавными  латинскими буквами: А = {Аристотель - основоположник логики}, В = {На яблонях растут бананы}. Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному — 0. Таким образом, А = 1, В = 0.

Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний.  Ее интересует только один факт — истинно или ложно данное высказывание, что дает возможность определять истинность или ложность составных высказываний алгебраическими методами.

Основные операции алгебры высказываний

Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (лат. conjunctio — связываю): в естественном языке соответствует союзу и, обозначение:  &, в языках программирования обозначение: and, иное название: логическое умножение.

Конъюнкция - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (лат. disjunctio — различаю): в естественном языке соответствует союзу или, обозначение: Ú; в языках программирования обозначение: or, иное название: логическое сложение.

Дизъюнкция - это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны  и  истинным,  когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

Логическая операция ИНВЕРСИЯ (лат. inversio — переворачиваю): в естественном языке соответствует словам "Неверно, что... " и частице не, обозначение: [pic], в языках программирования обозначение: not, иное название: отрицание.

Отрицание - это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие  составное  высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.

Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ (лат. implicatio — тесно связываю): в естественном языке соответствует обороту  Если ..., то ..., обозначение:  Þ, ®, иное название: логическое следование.

Импликация - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.

Логическая операция ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (лат. аequivalens — равноценное): в естественном языке соответствует оборотам речи тогда и только тогда и в том и только в том случае, обозначение: Û, ~, иное название: равнозначность.

Эквиваленция – это логическая операция,  ставящая  в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

Логические операции имеют следующий приоритет: действия в скобках, инверсия, &, Ú, Þ, Û.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)