Алгебра логики

Алгебра логики – является универсальным, а поэтому и достаточно сложным механизмом решения логических задач. Вообще существует большое количество разных алгебр логик. Наиболее простой из них является классическая логика (булева алгебра), в которой предполагается, что любое высказывание может быть либо истинным, либо ложным. Переменными (X,Y,Z,…) в алгебре логики являются высказывания. Логические связи в задаче между высказываниями (И, ИЛИ, НЕ) – операции алгебры логики (соответственно &, v, ().

Для решения логических задач средствами алгебры логики обычно используется следующая схема решения:

• изучается условие задачи;
• вводится система обозначений (переменных) для логических высказываний;
• конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи;
• определяются значения истинности этой логической формулы;
• из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введённых логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении.

При решении задач этим методом необходимо уметь преобразовывать логические формулы, т.е. нужно знать основные законы и правила преобразования булевой алгебры: переместительный, сочетательный и распределительный законы, законы де Моргана и т.п.

Распространенные логические задачи можно разделить на следующие основные виды:

• истинностные задачи – все высказывания (условия задачи) либо истинны либо ложны, т.е. известен статус высказываний;
• количественные задачи с множествами объектов – отдельный подвид истинностных задач, в которых нужно вычислить количество объектов/субъектов по их заданным свойствам;
• задачи о правдолюбцах и лжецах – не известен статус высказывания (не известно истинно высказывание либо ложно);
• задачи на взвешивание и переливание.

Следует отметить, что все методы решения (кроме разве метода рассуждений), призваны упорядочить процесс рассуждений, направить его в нужном направлении для получения решения. Последний метод алгебры логики формализует процесс решения – он заключается в переходе от конкретных условий задачи к некой абстрактной математической формуле, которая уже решается посредством конечного набора математических законов и правил.