Тангенс угла и острота зрения

Оценивать углы нам в повседневной жизни почти никогда не приходится, и потому большинство людей имеет очень смутное представление о величине угла с небольшим числом градусов, например угла в 1°, в 2° или в 5° (не говоря о землемерах, чертежниках и других специалистах, привыкших на практике измерять углы). Только большие углы оцениваем мы более или менее правдоподобно, особенно если догадываемся сравнить их со знакомыми нам углами между стрелками часов; всем, конечно, знакомы углы в 90°, в 60°, в 30°, в 120°, в 150°, которые мы настолько привыкли видеть на циферблате (в 3 ч., в 2 ч., в 1 ч., в 4 ч., в 5 ч.), что даже, не различая цифр, угадываем время по величине угла между стрелками. Но мелкие и отдельные предметы мы видим обычно под гораздо меньшим углом и потому совершенно не умеем даже приблизительно оценивать углы зрения.

Угловой размер и расстояние

При описании свойств математических объектов встречается понятие угла зрения. Часто оно используется в упрошенном виде. Мы говорим, например: «Из точки А отрезок а виден под углом . Кто и откуда смотрит на этот отрезок? Или эта фраза имеет какой-то другой смысл? Попробуем подробнее пояснить, что означают слова «видеть под углом». В наше под? зрения попадает множество предметов. К каждому предмету от глаза можно провести бесконечное число лучей зрения . Любые два из них образуют некоторый угол. Каждый из таких углов и есть угол зрения.

Для практических нужд, как правило, рассматривают угол зрения, под которым виден весь предмет. Такой угол зрения принято называть угловым размером предмета. Вы хорошо знакомы с линейными размерами предметов. Сколько их? Как их принято называть? Ответ: три размера - длина, ширина и высота. Угловые размеры различных объектов на местности необходимо определять топографам, составляющим ее карту. Для решения этой задачи они используют специальные оптические приборы.

Понятие угла зрения очень важно в астрономии. Знание углового размера (астрономы говорят углового диаметра или видимого диаметра) небесного тела позволяет вычислить его линейные размеры. Вследствие огромной удаленности космических объектов угловые диаметры планет и звезд очень малы и измеряются в угловых минутах (') и секундах (")•

Углов зрения, под которыми виден данный предмет, может быть бесконечно много, так как имеется бесчисленное число точек наблюдения — вершин таких углов. Иначе говоря, угловой размер предмета зависит от выбранной точки наблюдения .

Для решения практических задач выбирают «удобный» угол зрения, например тот, под которым видна высота рассматриваемого предмета.

Угловой размер — величина непостоянная. Она зависит от размеров предмета и расстояния от глаза до предмета. Убедимся в этом, проделав несложные опыты.

Угол зрения и подобие

Ранее говорилось о том, что один и тот же предмет мы можем видеть под различными углами зрения. Столь же часто мы встречаемся и с другой ситуацией: видим предметы, имеющие разные линейные размеры, под одним и тем же углом зрения. Такие предметы имеют одинаковый угловой размер. Вам наверняка приходилось смотреть на небо в ясную погоду, когда на Солнце набегало легкое облачко. В этот момент можно разглядеть солнечный диск без вреда для зрения. Вспомните также, как выглядит полная Луна в зените. Какой вывод можно сделать об угловых диаметрах Луны и Солнца ? (Ответ: угловые диаметры Луны и Солнца примерно равны.) Несмотря на то, что линейные размеры Солнца значительно превышают размеры Луны, угловые диаметры у этих космических тел почти не отличаются. Видимый диаметр Луны равен примерно З1’05", а Солнца — 31'59".

Для земного наблюдателя во время полного солнечного затмения Луна полностью заслоняет Солнце, т.е. они оказываются видны под одним и тем же углом зрения. Это уникальное явление было бы невозможно, если бы размеры тел, а также расстояния от них до Земли не состояли в определенной зависимости. Какой именно?

Возьмите два шара различного диаметра, например теннисный мячик и шарик для игры в пинг-понг. Закройте один глаз и, держа шары в руках, расположите так, чтобы меньший шар точно закрывал больший. Теперь оба шара видны нам под одним углом зрения. Как связаны между собой диаметры трое и расстояния от шаров до глаза?Ответ: диаметры шаров относятся так же,как расстояния от шаров до глаза.

Для простоты вычислений будем считать, что центр нашего глаза и центры шаров находятся на одной прямой. Представим себе, что проведена некоторая плоскость через наш глаз (центр которого совпадает с точкой О) и центры О1 и О2 шаров. Получим чертеж.

Тангенс угла и острота зрения

До сих пор, говоря об угле зрения, я приводила известные угловые размеры различных объектов. Ознакомившись с понятием тангенса угла, можно вычислять углы зрения.

Для людей с нормальным зрением величина предельного угла зрения приблизительно равна 1`.

Под таким углом видна, например, типографская точка диаметром 0,5 мм с расстояния 1,7 м. Чтобы вычислить остроту зрения, нужно найти отношение угла в 1' к предельному углу зрения , измеренному для глаза человека. Считается, что нормальная острота зрения равна единице и достигается в том случае, когда = 1'.

В медицинской практике остроту зрения проверяют по специальной таблице, которая содержит строчки букв разного размера. Острота зрения определяется по наименьшей строке, которую полностью правильно читает пациент. Такое исследование проводится для каждого глаза отдельно, так как у правого и у левого глаза этот показатель может несколько отличаться. Однако остроту своего зрения приблизительно можно узнать и без специального оборудования. Для этого можно провести несложный опыт, который был описан в книге «Занимательная геометрия» известного популяризатора науки Я.И.Перельмана.