Тайны совершенных чисел

Математика – наука о структурах, так определяют математику современные ученые. Есть и другие определения математики: совокупность наук изучающих величины, количественные отношения, а также пространственные формы. Математика состоит из нескольких математических величин, каждая из которых определяется как наука: алгебра, геометрия, математический анализ, теория вероятностей…

Числа … Мы сталкиваемся с ними на каждом шагу, они сопровождают нас от рождения и до последних дней. Без них мы не мыслим своей жизни. Среди всех чисел выделяются некоторые особые числа – совершенные.

О совершенных числах написано много, но самих их найдено мало – всего 24.

В древней Греции число называли совершенным, если оно равнялось сумме всех своих делителей, включая единицу и исключая само число. Например, делители числа 6 – это 1,2 и 3, совершенного числа 28 – 1,2,4,7 и 14. Числа 496 – 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248. Как видите 1+2+3=6, а 1+2+4+7+14=28 и 1+2+4+8+16+31+62+124+248=496.

Первые два совершенные числа были известны ещё в глубокой древности. Люди обратили на них внимание очень давно. Древнеегипетская мера длины локоть содержала двадцать восемь пальцев. В Древнем Риме существовал обычай отводить на пирах шестое место самым знатным и почетным гостям. Совершенными числами увлекались пифагорейцы-последователи школы древнегреческого математика Пифагора. Следующие два числа 496 и 8128 нашел в четвертом веке до нашей эры Евклид. Он не только отыскал два совершенных числа, но и дал ключ к поискам всех четных совершенных чисел. Одна из теорем в девятой книге Евклидовых «Начал» посвящена замечательному свойству совершенных чисел, открытому, как полагают, учениками Пифагора: если число р=1+2+4+…+2n=2n+1-1 простое, то число 2nр совершенное. В справедливости этого утверждения можно убедиться, рассмотрев все собственные делители числа 2nр: 1,2,4,…,2n,2n+1-1,2(2n+1-1),4(2n+1-1),…,2n-1(2n+1-1) – и подсчитав их сумму.

Правило Евклида позволило древнегреческому математику Никомаху из Герасы (I-II век) найти такие совершенные числа, как 6, 28, 496, 8128. Никомах писал: «Совершенные числа красивы. Однако красивые вещи редки и малочисленны». Полторы тысячи лет спустя было найдено пятое совершенное число 33550336.

С 1952 года в поиски совершенных чисел включились вычислительные машины. И если первое совершенное число 6 однозначно, то двадцать четвёртое имеет свыше 12000 знаков.

Впрочем, Евклид не только нашёл эти два совершенных числа, но и дал ключ к поискам всех чётных совершенных чисел. Он доказал, что чётное совершенное число имеет вид 2n-1(2n-1), если n – простое и 2n-1 тоже простое.

Вспомним древнюю историю о персидском царе и создателе шахматной игры. Восхищённый игрой в шахматы, царь предложил автору самому себе выбрать награду. Тот, на первый взгляд, изъявил очень скромное желание, попросив на первую клетку шахматной доски положить одно зерно пшеницы, на вторую – два зерна, на третью – четыре и таким образом заполнить все 64 клетки. Оказалось, что число зёрен в последней клетке равно 9223372036854775808, а удвоенное это число без единицы равно суммарному числу зёрен на доске. Написав в каждой клетке шахматной доски число зёрен, и забрав из каждой клетки по одному зерну, увидим, что оставшееся в клетке число зёрен определяется выражением 2n-1. если это число простое, то умножив его на число зёрен в предыдущей клетке, то есть на 2n-1, получим совершенное число. Простые числа ряда 2n-1 называют числами Мерсенна по имени французского математика семнадцатого века, занимавшегося их изучением. В 1644 году Мерсенн нашел восьмое совершенное число и заявил, что числа 2n-1 просты при n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 и непросты при остальных сорока четырёх простых n, меньших 257. Лишь около 250 лет спустя замечательный русский математик из Пермской губернии Иван Михеевич Первушин в 1883 году доказал, что число 261-1 простое, а ведь 61 не значилось в списке Мерсенна. Тем самым он нашел девятое совершенное число.

Всё совершенное редко встречается в мире. Редко встречаются и совершенные числа. Пифагореец Ямблих в своём сочинении о совершенных числах написал, что от мириады (десяти тысяч) до мириады мириад содержится лишь одно такое число, от мириады мириад до мириады мириад мириад ещё одно и т.д. Проведённая в XIX веке проверка показала, что совершенные числа встречаются ещё реже. От числа 1020 до числа 1036 нет ни одного совершенного числа, хотя по Ямблиху их должно быть четыре.

Из-за трудности нахождения и таинственной непостижимости совершенные числа в старину считались божественными. Так, средневековая церковь полагала, что изучение совершенных чисел ведёт к спасению души, что нашедшему новое совершенное число гарантировано вечное блаженство. Существовало также убеждение, что мир прекрасен, что сотворён создателем за шесть дней. А вот род человеческий не совершенен ибо произошёл от несовершенного числа восемь. Ведь именно восемь людей спаслось от всемирного потопа в Ноевом ковчеге. Но в нём спаслись семь пар чистых животных и семь пар нечистых животных, что в сумме составляет совершенное число 28. руки человеческие можно объявить совершенным орудием, так как в десяти пальцах находится 28 фаланг. Очень высоко ценили совершенное число 6 Пифагор и его последователи. Они считали это число психогоническим, при возведении в третью степень дающим промежуток в 216 лет между двумя перевоплощениями человеческой души. Геометрическим символом, соответствующим числу 6, является шестиконечная звезда – гексаграмма.

Если начертить квадрат и провести в нём диагонали, то можно заметить, что вершины квадрата соединены шестью отрезками, но ведь 6 – число совершенное. Теперь чертим куб и проводим все возможные диагонали. Получается 12 рёбер, 12 диагоналей граней, 4 диагонали куба. Их сумма равна 28. Если начертить тетраэдр, то его вершины соединены шестью рёбрами. В восьмиугольнике 20 диагоналей. прибавим к ним восемь сторон, получим совершенное число 28. продолжая поиски обратимся к семигранной пирамиде. У неё 7 рёбер, 7 сторон основания, а у основания 14 диагоналей. И всё это вместе составляет совершенное число 28.

Рассмотрим эту задачу в общем виде. Число отрезков, соединяющих попарно n точек (в данном случае вершин), равно n(n-1):2. Если число этих точек n = 2р, где р - простое число, 2р-1 тоже простое, то получим 2р(2р-1):2 или 2р-1(2р-1). Это известная формула Евклида для множества чётных совершенных чисел.

Таким образом, если в пространстве или на плоскости разбросать 2р точек, так что ни какие три точки не лежат на одной прямой, то число отрезков, соединяющих попарно все эти точки, будет числом совершенным.

Каждое совершенное число есть сумма вида 1 + 2 + 3 + 4 + … + n. Каждое совершенное число, за исключением 6, есть частичная сумма ряда из кубов нечётных чисел: 13 + 33 + 53 + … . Вот ещё одно свойство совершенных чисел: сумма обратных значений делителей совершенного числа, включая и само число как делитель, всегда равна двум. Так, для числа 28 имеем 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2.

Все совершенные числа, которые можно найти по правилу Евклида, чётные. До сих пор неизвестно, существуют ли нечётные совершенные числа и существует ли наибольшее чётное совершенное число. Современный немецкий математик Вальтер Боро сказал: «Работы, посвящённые нечётным совершенным числам, напоминают охоту за призраком: никто никогда его не видел, но проведено много остроумных исследований того, как он не может выглядеть». И так, несмотря на большие успехи, достигнутые в исследовании тайны совершенных чисел великими учеными всех времен от Евклида до Мерсенна, Первушина, Ферма, Эйлера и других, проблема остается нерешенной. Может быть, наше поколение добьется большего и докажет существование нечетных совершенных чисел.